Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 2 x - 8}{\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + 2 x - 8}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Etapa 1.1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2^{2} + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.6.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{4 + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Etapa 1.1.2.6.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 + 4 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Etapa 1.1.2.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{4 + 4 - 8}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Etapa 1.1.2.6.2

Some $4$ e $4$ .

$\frac{8 - 8}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Etapa 1.1.2.6.3

Subtraia $8$ de $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)}$

Etapa 1.1.3

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite de $\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{2^{2} + 5} - (2 + 1)}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 + 5} - (2 + 1)}$

Etapa 1.1.3.2.2

Some $4$ e $5$ .

$\frac{0}{\sqrt{9} - (2 + 1)}$

Etapa 1.1.3.2.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{3^{2}} - (2 + 1)}$

Etapa 1.1.3.2.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{0}{3 - (2 + 1)}$

Etapa 1.1.3.2.5

Some $2$ e $1$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.2.6

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Etapa 1.1.3.3

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 2 x - 8}{\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)]}$

Etapa 1.3.5

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)]}$

Etapa 1.3.6

Some $2 x + 2$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 5}] + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 5}] + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 5}]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 5}$ como ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Etapa 1.3.8.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Etapa 1.3.8.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 5$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5] + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Etapa 1.3.8.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5] + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Etapa 1.3.8.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 5$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5] + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Etapa 1.3.8.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Etapa 1.3.8.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Etapa 1.3.8.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Etapa 1.3.8.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Etapa 1.3.8.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Etapa 1.3.8.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Etapa 1.3.8.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.8.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Etapa 1.3.8.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Etapa 1.3.8.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Etapa 1.3.8.11

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Etapa 1.3.8.12

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{{(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Etapa 1.3.8.13

Combine $2$ e $\frac{{(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{2 {(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Etapa 1.3.8.14

Combine $\frac{2 {(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{2 {(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Etapa 1.3.8.15

Mova ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Etapa 1.3.8.16

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Etapa 1.3.8.17

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- (x + 1)]}$

Etapa 1.3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [- (x + 1)]$ .

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Etapa 1.3.9.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (x + 1)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x + 1]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 1.3.9.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Etapa 1.3.9.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Etapa 1.3.9.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (1 + 0)}$

Etapa 1.3.9.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.9.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} - 1}$

Etapa 1.4

Reescreva ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x^{2} + 5}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 5}} - 1}$

Etapa 1.5

Combine os termos.

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Etapa 1.5.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{\sqrt{x^{2} + 5}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 5}} - 1 \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{\sqrt{x^{2} + 5}}}$

Etapa 1.5.2

Combine $- 1$ e $\frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{\sqrt{x^{2} + 5}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 5}} + \frac{- \sqrt{x^{2} + 5}}{\sqrt{x^{2} + 5}}}$

Etapa 1.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2}{\frac{x - \sqrt{x^{2} + 5}}{\sqrt{x^{2} + 5}}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x + 2}{lim_{x \to 2} \frac{x - \sqrt{x^{2} + 5}}{\sqrt{x^{2} + 5}}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} \frac{x - \sqrt{x^{2} + 5}}{\sqrt{x^{2} + 5}}}$

Etapa 2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} \frac{x - \sqrt{x^{2} + 5}}{\sqrt{x^{2} + 5}}}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + 2}{lim_{x \to 2} \frac{x - \sqrt{x^{2} + 5}}{\sqrt{x^{2} + 5}}}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + 2}{\frac{lim_{x \to 2} x - \sqrt{x^{2} + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5}}}$

Etapa 2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + 2}{\frac{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5}}}$

Etapa 2.7

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + 2}{\frac{lim_{x \to 2} x - \sqrt{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5}}}$

Etapa 2.8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + 2}{\frac{lim_{x \to 2} x - \sqrt{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5}}}$

Etapa 2.9

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + 2}{\frac{lim_{x \to 2} x - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5}}}$

Etapa 2.10

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + 2}{\frac{lim_{x \to 2} x - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5}}}$

Etapa 2.11

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + 2}{\frac{lim_{x \to 2} x - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}{\sqrt{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}}$

Etapa 2.12

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + 2}{\frac{lim_{x \to 2} x - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}{\sqrt{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 5}}}$

Etapa 2.13

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + 2}{\frac{lim_{x \to 2} x - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}{\sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 5}}}$

Etapa 2.14

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + 2}{\frac{lim_{x \to 2} x - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}{\sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2}{\frac{lim_{x \to 2} x - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}{\sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2}{\frac{2 - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}{\sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2}{\frac{2 - \sqrt{2^{2} + 5}}{\sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}}$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2}{\frac{2 - \sqrt{2^{2} + 5}}{\sqrt{2^{2} + 5}}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(2 \cdot 2 + 2) \frac{\sqrt{2^{2} + 5}}{2 - \sqrt{2^{2} + 5}}$

Etapa 4.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$(2 \cdot 2 + 2) \frac{\sqrt{4 + 5}}{2 - \sqrt{2^{2} + 5}}$

Etapa 4.2.2

Some $4$ e $5$ .

$(2 \cdot 2 + 2) \frac{\sqrt{9}}{2 - \sqrt{2^{2} + 5}}$

Etapa 4.2.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$(2 \cdot 2 + 2) \frac{\sqrt{3^{2}}}{2 - \sqrt{2^{2} + 5}}$

Etapa 4.2.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$(2 \cdot 2 + 2) \frac{3}{2 - \sqrt{2^{2} + 5}}$

Etapa 4.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$(2 \cdot 2 + 2) \frac{3}{2 - \sqrt{4 + 5}}$

Etapa 4.3.2

Some $4$ e $5$ .

$(2 \cdot 2 + 2) \frac{3}{2 - \sqrt{9}}$

Etapa 4.3.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$(2 \cdot 2 + 2) \frac{3}{2 - \sqrt{3^{2}}}$

Etapa 4.3.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$(2 \cdot 2 + 2) \frac{3}{2 - 1 \cdot 3}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$(2 \cdot 2 + 2) \frac{3}{2 - 3}$

Etapa 4.3.6

Subtraia $3$ de $2$ .

$(2 \cdot 2 + 2) \frac{3}{- 1}$

Etapa 4.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$(4 + 2) \frac{3}{- 1}$

Etapa 4.5

Some $4$ e $2$ .

$6 (\frac{3}{- 1})$

Etapa 4.6

Divida $3$ por $- 1$ .

$6 \cdot - 3$

Etapa 4.7

Multiplique $6$ por $- 3$ .

$- 18$