Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - \cos (5 x)}{x \tan (2 x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\cos (0) - \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\cos (0) - \cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1 - \cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.6.1.2

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.6.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.6.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \tan (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \tan (2 \cdot 0)}$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.5.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \tan (0)}$

Etapa 1.1.3.5.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Etapa 1.1.3.5.3

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.5.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - \cos (5 x)}{x \tan (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (x) - \cos (5 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (5 x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (5 x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 1.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (- \sin (5 x) \cdot 5)}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.6

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (- 5 \sin (5 x))}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.7

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \tan (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.6.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.7

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.9

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (\sec^{2} (2 x) \cdot 2) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.10

Mova $2$ para a esquerda de $\sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (2 \cdot \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) \cdot 1}$

Etapa 1.3.12

Multiplique $\tan (2 x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{x (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x)}$

Etapa 1.3.13

Reordene os termos.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} - \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 5 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{- \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 5 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Etapa 2.1.2.3

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- \sin (lim_{x \to 0} x) + 5 lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Etapa 2.1.2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{- \sin (lim_{x \to 0} x) + 5 \sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Etapa 2.1.2.5

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- \sin (lim_{x \to 0} x) + 5 \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Etapa 2.1.2.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- \sin (0) + 5 \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Etapa 2.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- \sin (0) + 5 \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Etapa 2.1.2.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.7.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{- 0 + 5 \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Etapa 2.1.2.7.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0 + 5 \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Etapa 2.1.2.7.1.3

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{0 + 5 \sin (0)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Etapa 2.1.2.7.1.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Etapa 2.1.2.7.1.5

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Etapa 2.1.2.7.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 2.1.3.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \sec^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 2.1.3.3

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 2.1.3.4

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (2 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2} + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 2.1.3.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 2.1.3.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 2.1.3.7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Etapa 2.1.3.8

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 2.1.3.9

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.9.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0 \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 2.1.3.9.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0 \cdot \sec^{2} (2 \cdot 0) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 2.1.3.9.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0 \cdot \sec^{2} (2 \cdot 0) + \tan (2 \cdot 0)}$

Etapa 2.1.3.10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.10.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sec^{2} (2 \cdot 0) + \tan (2 \cdot 0)}$

Etapa 2.1.3.10.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sec^{2} (0) + \tan (2 \cdot 0)}$

Etapa 2.1.3.10.1.3

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1^{2} + \tan (2 \cdot 0)}$

Etapa 2.1.3.10.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{0 \cdot 1 + \tan (2 \cdot 0)}$

Etapa 2.1.3.10.1.5

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{0}{0 + \tan (2 \cdot 0)}$

Etapa 2.1.3.10.1.6

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + \tan (0)}$

Etapa 2.1.3.10.1.7

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 2.1.3.10.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.10.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.11

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 5 \sin (5 x)}{2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sin (x) + 5 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sin (x) + 5 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \sin (x) + 5 \sin (5 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \sin (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + \frac{d}{d x} [5 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [5 \sin (5 x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 \sin (5 x)$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 5 \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 2.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.4.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 5 (\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 5 (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.4.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 5 (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 5 (\cos (5 x) (5 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.4.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 5 (\cos (5 x) \cdot 5)}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.4.6

Mova $5$ para a esquerda de $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 5 (5 \cdot \cos (5 x))}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.4.7

Multiplique $5$ por $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.6

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x)]$ .

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Etapa 2.3.6.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x \sec^{2} (2 x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x \sec^{2} (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 \frac{d}{d x} [x \sec^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.6.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.6.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Etapa 2.3.6.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.6.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.6.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.6.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.6.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.6.4.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.6.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.6.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.6.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.6.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.6.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.6.9

Mova $2$ para a esquerda de $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (2 \sec (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x)))) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.6.10

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x))) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.6.11

Eleve $\sec (2 x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.6.12

Eleve $\sec (2 x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.6.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 {\sec (2 x)}^{1 + 1} \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.6.14

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.6.15

Multiplique $\sec^{2} (2 x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 2.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

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Etapa 2.3.7.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.7.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x)) + \frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 2.3.7.1.2

A derivada de $\tan (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\sec^{2} (u_{3})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 2.3.7.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 2.3.7.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 2.3.7.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)}$

Etapa 2.3.7.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 2}$

Etapa 2.3.7.5

Mova $2$ para a esquerda de $\sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + \sec^{2} (2 x)) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.3.8

Simplifique.

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Etapa 2.3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{2 (x (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x))) + 2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.3.8.2

Combine os termos.

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Etapa 2.3.8.2.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{8 (x (\sec^{2} (2 x) \tan (2 x))) + 2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.3.8.2.2

Some $2 \sec^{2} (2 x)$ e $2 \sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{8 x (\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.3.8.3

Reordene os termos.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{8 x \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.3.8.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.8.4.1

Reescreva $\sec (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{8 x {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.3.8.4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{8 x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.3.8.4.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{8 x \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.3.8.4.4

Multiplique $8 x \frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

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Etapa 2.3.8.4.4.1

Combine $8$ e $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{x \frac{8}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.3.8.4.4.2

Combine $x$ e $\frac{8}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{x \cdot 8}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.3.8.4.5

Mova $8$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 \cdot x}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.3.8.4.6

Reescreva $\tan (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.3.8.4.7

Combine.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos (2 x)} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.3.8.4.8

Multiplique $\cos^{2} (2 x)$ por $\cos (2 x)$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.8.4.8.1

Multiplique $\cos^{2} (2 x)$ por $\cos (2 x)$ .

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Etapa 2.3.8.4.8.1.1

Eleve $\cos (2 x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos^{1} (2 x)} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.3.8.4.8.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{2 + 1}} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.3.8.4.8.2

Some $2$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.3.8.4.9

Reescreva $\sec (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 4 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2}}$

Etapa 2.3.8.4.10

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)}}$

Etapa 2.3.8.4.11

Um elevado a qualquer potência é um.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 4 \frac{1}{\cos^{2} (2 x)}}$

Etapa 2.3.8.4.12

Combine $4$ e $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4}{\cos^{2} (2 x)}}$

Etapa 2.4

Combine os termos.

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Etapa 2.4.1

Para escrever $\frac{4}{\cos^{2} (2 x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}}$

Etapa 2.4.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\cos^{3} (2 x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.4.2.1

Multiplique $\frac{4}{\cos^{2} (2 x)}$ por $\frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4 \cos (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos (2 x)}}$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $\cos^{2} (2 x)$ por $\cos (2 x)$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.2.2.1

Multiplique $\cos^{2} (2 x)$ por $\cos (2 x)$ .

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Etapa 2.4.2.2.1.1

Eleve $\cos (2 x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4 \cos (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos^{1} (2 x)}}$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4 \cos (2 x)}{{\cos (2 x)}^{2 + 1}}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Some $2$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Etapa 2.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{\frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - \cos (x) + 25 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 25 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Etapa 3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 25 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Etapa 3.4

Mova o termo $25$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Etapa 3.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Etapa 3.6

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Etapa 3.7

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} 8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Etapa 3.8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} 8 x \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Etapa 3.9

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Etapa 3.10

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Etapa 3.11

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Etapa 3.12

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Etapa 3.13

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Etapa 3.14

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Etapa 3.15

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Etapa 3.16

Mova o expoente $3$ de $\cos^{3} (2 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \cos (2 x))}^{3}}}$

Etapa 3.17

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} 2 x)}}$

Etapa 3.18

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Etapa 4.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Etapa 4.5

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Etapa 4.6

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Multiplique $8$ por $0$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{0 \cdot \sin (0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Etapa 5.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{0 \cdot 0 + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Etapa 5.1.4

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{0 + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Etapa 5.1.5

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{0 + 4 \cos (0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Etapa 5.1.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{0 + 4 \cdot 1}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Etapa 5.1.7

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{0 + 4}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Etapa 5.1.8

Some $0$ e $4$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{4}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Etapa 5.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{4}{\cos^{3} (0)}}$

Etapa 5.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{4}{1^{3}}}$

Etapa 5.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{- \cos (0) + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{4}{1}}$

Etapa 5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{4}{1}}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1 + 25 \cos (5 \cdot 0)}{\frac{4}{1}}$

Etapa 5.3.3

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{- 1 + 25 \cos (0)}{\frac{4}{1}}$

Etapa 5.3.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{- 1 + 25 \cdot 1}{\frac{4}{1}}$

Etapa 5.3.5

Multiplique $25$ por $1$ .

$\frac{- 1 + 25}{\frac{4}{1}}$

Etapa 5.3.6

Some $- 1$ e $25$ .

$\frac{24}{\frac{4}{1}}$

Etapa 5.4

Divida $4$ por $1$ .

$\frac{24}{4}$

Etapa 5.5

Cancele o fator comum de $24$ e $4$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore $4$ de $24$ .

$\frac{4 \cdot 6}{4}$

Etapa 5.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.5.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 6}{4 (1)}$

Etapa 5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 6}{4 \cdot 1}$

Etapa 5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{1}$

Etapa 5.5.2.4

Divida $6$ por $1$ .

$6$