Cálculo Exemplos

$y = x^{x^{x}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{x^{x}})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 3.1.1

Reescreva $x^{x^{x}}$ como $e^{\ln (x^{x^{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x^{x}})}]$

Etapa 3.1.2

Expanda $\ln (x^{x^{x}})$ movendo $x^{x}$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{x} \ln (x)}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{x} \ln (x)$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{x} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{x} \ln (x)]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{x} \ln (x)]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{x} \ln (x)$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{x} \ln (x)]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{x}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Etapa 3.4

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Etapa 3.5

Simplifique os termos.

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Etapa 3.5.1

Combine $x^{x}$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Etapa 3.5.2

Cancele o fator comum de $x^{x}$ e $x$ .

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Etapa 3.5.2.1

Fatore $x$ de $x^{x}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{x - 1}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Etapa 3.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.5.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{x - 1}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Etapa 3.5.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{x - 1}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Etapa 3.5.2.2.3

Cancele o fator comum.

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{x - 1}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Etapa 3.5.2.2.4

Reescreva a expressão.

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x^{x - 1}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Etapa 3.5.2.2.5

Divida $x^{x - 1}$ por $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Etapa 3.6

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 3.6.1

Reescreva $x^{x}$ como $e^{\ln (x^{x})}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}])$

Etapa 3.6.2

Expanda $\ln (x^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}])$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x \ln (x)$ .

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Etapa 3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x \ln (x)$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]))$

Etapa 3.7.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]))$

Etapa 3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x \ln (x)$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]))$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])))$

Etapa 3.9

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])))$

Etapa 3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.10.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])))$

Etapa 3.10.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.10.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])))$

Etapa 3.10.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])))$

Etapa 3.10.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)))$

Etapa 3.10.4

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))))$

Etapa 3.11

Simplifique.

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Etapa 3.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

Etapa 3.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

Etapa 3.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1)) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

Etapa 3.11.4

Combine os termos.

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Etapa 3.11.4.1

Multiplique $e^{x \ln (x)}$ por $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x \ln (x)}) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

Etapa 3.11.4.2

Multiplique $e^{x^{x} \ln (x)}$ por $e^{x \ln (x)}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.11.4.2.1

Mova $e^{x \ln (x)}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x)} e^{x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

Etapa 3.11.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

Etapa 3.11.4.3

Eleve $\ln (x)$ à potência de $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln^{1} (x) \ln (x) e^{x \ln (x)})$

Etapa 3.11.4.4

Eleve $\ln (x)$ à potência de $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln^{1} (x) \ln^{1} (x) e^{x \ln (x)})$

Etapa 3.11.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} ({\ln (x)}^{1 + 1} e^{x \ln (x)})$

Etapa 3.11.4.6

Some $1$ e $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln^{2} (x) e^{x \ln (x)})$

Etapa 3.11.4.7

Multiplique $e^{x^{x} \ln (x)}$ por $e^{x \ln (x)}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.11.4.7.1

Mova $e^{x \ln (x)}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)} e^{x^{x} \ln (x)} \ln^{2} (x)$

Etapa 3.11.4.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln^{2} (x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln^{2} (x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln^{2} (x)$