Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{2} + x - 2}{x^{3} + 6}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} + x - 2$ e $g (x) = x^{3} + 6$ .

$\frac{(x^{3} + 6) \frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2] - (x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 6]}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{3} + 6) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 6]}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{3} + 6) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 6]}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} + 6) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 6]}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 2.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{3} + 6) (2 x + 1 + 0) - (x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 6]}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 2.5

Some $2 x + 1$ e $0$ .

$\frac{(x^{3} + 6) (2 x + 1) - (x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 6]}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{(x^{3} + 6) (2 x + 1) - (x^{2} + x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{(x^{3} + 6) (2 x + 1) - (x^{2} + x - 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 2.8

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{3} + 6) (2 x + 1) - (x^{2} + x - 2) (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 2.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.9.1

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{(x^{3} + 6) (2 x + 1) - (x^{2} + x - 2) (3 x^{2})}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 2.9.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{(x^{3} + 6) (2 x + 1) - 3 (x^{2} + x - 2) x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{3} + 6) (2 x + 1) + (- 3 x^{2} - 3 x - 3 \cdot - 2) x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{3} + 6) (2 x + 1) - 3 x^{2} x^{2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Expanda $(x^{3} + 6) (2 x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} (2 x + 1) + 6 (2 x + 1) - 3 x^{2} x^{2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot 1 + 6 (2 x + 1) - 3 x^{2} x^{2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot 1 + 6 (2 x) + 6 \cdot 1 - 3 x^{2} x^{2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x^{3} x + x^{3} \cdot 1 + 6 (2 x) + 6 \cdot 1 - 3 x^{2} x^{2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.2.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 1 + 6 (2 x) + 6 \cdot 1 - 3 x^{2} x^{2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.2.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

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Etapa 3.3.1.2.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 1 + 6 (2 x) + 6 \cdot 1 - 3 x^{2} x^{2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 1 + 6 (2 x) + 6 \cdot 1 - 3 x^{2} x^{2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.2.3

Some $1$ e $3$ .

$\frac{2 x^{4} + x^{3} \cdot 1 + 6 (2 x) + 6 \cdot 1 - 3 x^{2} x^{2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.3

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$\frac{2 x^{4} + x^{3} + 6 (2 x) + 6 \cdot 1 - 3 x^{2} x^{2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.4

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{2 x^{4} + x^{3} + 12 x + 6 \cdot 1 - 3 x^{2} x^{2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.5

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{2 x^{4} + x^{3} + 12 x + 6 - 3 x^{2} x^{2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.3.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{4} + x^{3} + 12 x + 6 - 3 (x^{2} x^{2}) - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{4} + x^{3} + 12 x + 6 - 3 x^{2 + 2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3.3

Some $2$ e $2$ .

$\frac{2 x^{4} + x^{3} + 12 x + 6 - 3 x^{4} - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.4.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{4} + x^{3} + 12 x + 6 - 3 x^{4} - 3 (x^{2} x) - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.3.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x^{4} + x^{3} + 12 x + 6 - 3 x^{4} - 3 (x^{2} x^{1}) - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{4} + x^{3} + 12 x + 6 - 3 x^{4} - 3 x^{2 + 1} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{2 x^{4} + x^{3} + 12 x + 6 - 3 x^{4} - 3 x^{3} - 3 \cdot - 2 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{4} + x^{3} + 12 x + 6 - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 6 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Subtraia $3 x^{4}$ de $2 x^{4}$ .

$\frac{- x^{4} + x^{3} + 12 x + 6 - 3 x^{3} + 6 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Subtraia $3 x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{- x^{4} - 2 x^{3} + 12 x + 6 + 6 x^{2}}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$\frac{- x^{4} - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 6}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.5

Fatore $- 1$ de $- x^{4}$ .

$\frac{- (x^{4}) - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 6}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.6

Fatore $- 1$ de $- 2 x^{3}$ .

$\frac{- (x^{4}) - (2 x^{3}) + 6 x^{2} + 12 x + 6}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.7

Fatore $- 1$ de $- (x^{4}) - (2 x^{3})$ .

$\frac{- (x^{4} + 2 x^{3}) + 6 x^{2} + 12 x + 6}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.8

Fatore $- 1$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{- (x^{4} + 2 x^{3}) - (- 6 x^{2}) + 12 x + 6}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.9

Fatore $- 1$ de $- (x^{4} + 2 x^{3}) - (- 6 x^{2})$ .

$\frac{- (x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2}) + 12 x + 6}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.10

Fatore $- 1$ de $12 x$ .

$\frac{- (x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2}) - (- 12 x) + 6}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.11

Fatore $- 1$ de $- (x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2}) - (- 12 x)$ .

$\frac{- (x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x) + 6}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.12

Reescreva $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$\frac{- (x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x) - 1 (- 6)}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.13

Fatore $- 1$ de $- (x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{- (x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x - 6)}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.14

Reescreva $- (x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x - 6)$ como $- 1 (x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x - 6)$ .

$\frac{- 1 (x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x - 6)}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x - 6}{{(x^{3} + 6)}^{2}}$