Cálculo Exemplos

$\int_{4}^{\infty} \frac{1}{{(x - 3)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{4}^{t} \frac{1}{{(x - 3)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = x - 3$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = x - 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 4 - 3$

Etapa 2.3

Subtraia $3$ de $4$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x - 3$ .

$u_{upper} = t - 3$

Etapa 2.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = t - 3$

Etapa 2.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Etapa 3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.1

Mova $u^{\frac{3}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 3.2.2

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 3.2.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Etapa 3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 u^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{t - 3}$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ em $t - 3$ e em $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$lim_{t \to \infty} - 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot 1$

Etapa 5.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + 2$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Avalie o limite.

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Etapa 6.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- lim_{t \to \infty} 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + lim_{t \to \infty} 2$

Etapa 6.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + lim_{t \to \infty} 2$

Etapa 6.1.3

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 6.1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{{(t - 3)}^{\frac{1}{2}}} + lim_{t \to \infty} 2$

Etapa 6.1.3.2

Reescreva ${(t - 3)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{t - 3}$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\sqrt{t - 3}} + lim_{t \to \infty} 2$

Etapa 6.2

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{\sqrt{t - 3}}$ se aproxima de $0$ .

$- 2 \cdot 0 + lim_{t \to \infty} 2$

Etapa 6.3

Avalie o limite.

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Etapa 6.3.1

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- 2 \cdot 0 + 2$

Etapa 6.3.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.3.2.1

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$0 + 2$

Etapa 6.3.2.2

Some $0$ e $2$ .

$2$