Cálculo Exemplos

$y = (x^{4} + 3) (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4} + 3$ e $g (x) = - 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5$ .

$(x^{4} + 3) \frac{d}{d x} [- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5] + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4} + 3]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(x^{4} + 3) (\frac{d}{d x} [- 4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4} + 3]$

Etapa 2.2

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{5}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$(x^{4} + 3) (- 4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4} + 3]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$(x^{4} + 3) (- 4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4} + 3]$

Etapa 2.4

Multiplique $5$ por $- 4$ .

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4} + 3]$

Etapa 2.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4} + 3]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5]) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4} + 3]$

Etapa 2.7

Multiplique $4$ por $5$ .

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [5]) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4} + 3]$

Etapa 2.8

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + 20 x^{3} + 0) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4} + 3]$

Etapa 2.9

Some $- 20 x^{4} + 20 x^{3}$ e $0$ .

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + 20 x^{3}) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4} + 3]$

Etapa 2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + 20 x^{3}) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + 20 x^{3}) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 2.12

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + 20 x^{3}) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) (4 x^{3} + 0)$

Etapa 2.13

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.13.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + 20 x^{3}) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) (4 x^{3})$

Etapa 2.13.2

Mova $4$ para a esquerda de $- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5$ .

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + 20 x^{3}) + 4 \cdot (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) x^{3}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + 20 x^{3}) + (4 (- 4 x^{5}) + 4 (5 x^{4}) + 4 \cdot 5) x^{3}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + 20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4}) + (x^{4} + 3) (20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} (- 20 x^{4}) + 3 (- 20 x^{4}) + (x^{4} + 3) (20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

Etapa 3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} (- 20 x^{4}) + 3 (- 20 x^{4}) + x^{4} (20 x^{3}) + 3 (20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

Etapa 3.6

Combine os termos.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $x^{4}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.6.1.1

Mova $x^{4}$ .

$x^{4} x^{4} \cdot - 20 + 3 (- 20 x^{4}) + x^{4} (20 x^{3}) + 3 (20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

Etapa 3.6.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{4 + 4} \cdot - 20 + 3 (- 20 x^{4}) + x^{4} (20 x^{3}) + 3 (20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

Etapa 3.6.1.3

Some $4$ e $4$ .

$x^{8} \cdot - 20 + 3 (- 20 x^{4}) + x^{4} (20 x^{3}) + 3 (20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

Etapa 3.6.2

Mova $- 20$ para a esquerda de $x^{8}$ .

$- 20 \cdot x^{8} + 3 (- 20 x^{4}) + x^{4} (20 x^{3}) + 3 (20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

Etapa 3.6.3

Multiplique $- 20$ por $3$ .

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + x^{4} (20 x^{3}) + 3 (20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

Etapa 3.6.4

Multiplique $x^{4}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.6.4.1

Mova $x^{3}$ .

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + x^{3} x^{4} \cdot 20 + 3 (20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

Etapa 3.6.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + x^{3 + 4} \cdot 20 + 3 (20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

Etapa 3.6.4.3

Some $3$ e $4$ .

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + x^{7} \cdot 20 + 3 (20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

Etapa 3.6.5

Mova $20$ para a esquerda de $x^{7}$ .

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + 20 \cdot x^{7} + 3 (20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

Etapa 3.6.6

Multiplique $20$ por $3$ .

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + 20 x^{7} + 60 x^{3} + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

Etapa 3.6.7

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + 20 x^{7} + 60 x^{3} - 16 x^{5} x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

Etapa 3.6.8

Multiplique $x^{5}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.6.8.1

Mova $x^{3}$ .

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + 20 x^{7} + 60 x^{3} - 16 (x^{3} x^{5}) + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

Etapa 3.6.8.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + 20 x^{7} + 60 x^{3} - 16 x^{3 + 5} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

Etapa 3.6.8.3

Some $3$ e $5$ .

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + 20 x^{7} + 60 x^{3} - 16 x^{8} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

Etapa 3.6.9

Multiplique $5$ por $4$ .

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + 20 x^{7} + 60 x^{3} - 16 x^{8} + 20 x^{4} x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

Etapa 3.6.10

Multiplique $x^{4}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.6.10.1

Mova $x^{3}$ .

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + 20 x^{7} + 60 x^{3} - 16 x^{8} + 20 (x^{3} x^{4}) + 4 \cdot 5 x^{3}$

Etapa 3.6.10.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + 20 x^{7} + 60 x^{3} - 16 x^{8} + 20 x^{3 + 4} + 4 \cdot 5 x^{3}$

Etapa 3.6.10.3

Some $3$ e $4$ .

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + 20 x^{7} + 60 x^{3} - 16 x^{8} + 20 x^{7} + 4 \cdot 5 x^{3}$

Etapa 3.6.11

Multiplique $4$ por $5$ .

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + 20 x^{7} + 60 x^{3} - 16 x^{8} + 20 x^{7} + 20 x^{3}$

Etapa 3.6.12

Subtraia $16 x^{8}$ de $- 20 x^{8}$ .

$- 36 x^{8} - 60 x^{4} + 20 x^{7} + 60 x^{3} + 20 x^{7} + 20 x^{3}$

Etapa 3.6.13

Some $20 x^{7}$ e $20 x^{7}$ .

$- 36 x^{8} - 60 x^{4} + 40 x^{7} + 60 x^{3} + 20 x^{3}$

Etapa 3.6.14

Some $60 x^{3}$ e $20 x^{3}$ .

$- 36 x^{8} - 60 x^{4} + 40 x^{7} + 80 x^{3}$

Etapa 3.7

Reordene os termos.

$- 36 x^{8} + 40 x^{7} - 60 x^{4} + 80 x^{3}$