Cálculo Exemplos

$f (x) = 12 x + x^{2} - x^{3}$ , $g (x) = 0$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$12 x + x^{2} - x^{3} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $12 x + x^{2} - x^{3} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$12 u + u^{2} - u^{3} = 0$

Etapa 1.2.1.2

Fatore $u$ de $12 u + u^{2} - u^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.2.1

Fatore $u$ de $12 u$ .

$u \cdot 12 + u^{2} - u^{3} = 0$

Etapa 1.2.1.2.2

Fatore $u$ de $u^{2}$ .

$u \cdot 12 + u \cdot u - u^{3} = 0$

Etapa 1.2.1.2.3

Fatore $u$ de $- u^{3}$ .

$u \cdot 12 + u \cdot u + u (- u^{2}) = 0$

Etapa 1.2.1.2.4

Fatore $u$ de $u \cdot 12 + u \cdot u$ .

$u \cdot (12 + u) + u (- u^{2}) = 0$

Etapa 1.2.1.2.5

Fatore $u$ de $u \cdot (12 + u) + u (- u^{2})$ .

$u (12 + u - u^{2}) = 0$

Etapa 1.2.1.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.3.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.3.1.1

Reordene os termos.

$u (- u^{2} + u + 12) = 0$

Etapa 1.2.1.3.1.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ e cuja soma é $b = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.3.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$u (- u^{2} + 1 u + 12) = 0$

Etapa 1.2.1.3.1.2.2

Reescreva $1$ como $- 3$ mais $4$

$u (- u^{2} + (- 3 + 4) u + 12) = 0$

Etapa 1.2.1.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$u (- u^{2} - 3 u + 4 u + 12) = 0$

Etapa 1.2.1.3.1.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.3.1.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$u ((- u^{2} - 3 u) + 4 u + 12) = 0$

Etapa 1.2.1.3.1.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (u (- u - 3) - 4 (- u - 3)) = 0$

Etapa 1.2.1.3.1.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- u - 3$ .

$u ((- u - 3) (u - 4)) = 0$

Etapa 1.2.1.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$u (- u - 3) (u - 4) = 0$

Etapa 1.2.1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$x (- x - 3) (x - 4) = 0$

Etapa 1.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$- x - 3 = 0$

$x - 4 = 0 + y = 0$

Etapa 1.2.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $- x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $- x - 3$ como igual a $0$ .

$- x - 3 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $- x - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$- x = 3$

Etapa 1.2.4.2.2

Divida cada termo em $- x = 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.1

Divida cada termo em $- x = 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{3}{- 1}$

Etapa 1.2.4.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{- 1}$

Etapa 1.2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.3.1

Divida $3$ por $- 1$ .

$x = - 3$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $x (- x - 3) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 3, 4$

Etapa 1.3

Substitua $0$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(- 3, 0)$

$(4, 0)$

$(0, 0)$

$(- 3, 0)$

$(4, 0)$

Etapa 2

Simplifique $12 x + x^{2} - x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Mova $12 x$ .

$y = x^{2} - x^{3} + 12 x$

Etapa 2.2

Reordene $x^{2}$ e $- x^{3}$ .

$y = - x^{3} + x^{2} + 12 x$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 3}^{0} 0 d x - \int_{- 3}^{0} - x^{3} + x^{2} + 12 x d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $- 3$ e $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 3}^{0} 0 - (- x^{3} + x^{2} + 12 x) d x$

Etapa 4.2

Subtraia $- x^{3} + x^{2} + 12 x$ de $0$ .

$\int_{- 3}^{0} - (- x^{3} + x^{2} + 12 x) d x$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{- 3}^{0} x^{3} - x^{2} - (12 x) d x$

Etapa 4.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Multiplique $- - x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 x^{3} - x^{2} - (12 x)$

Etapa 4.4.1.2

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} - x^{2} - (12 x)$

Etapa 4.4.2

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$x^{3} - x^{2} - 12 x$

$\int_{- 3}^{0} x^{3} - x^{2} - 12 x d x$

Etapa 4.5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 3}^{0} x^{3} d x + \int_{- 3}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} - 12 x d x$

Etapa 4.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0} + \int_{- 3}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} - 12 x d x$

Etapa 4.7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0} - \int_{- 3}^{0} x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} - 12 x d x$

Etapa 4.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{0}) + \int_{- 3}^{0} - 12 x d x$

Etapa 4.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{0}) + \int_{- 3}^{0} - 12 x d x$

Etapa 4.10

Como $- 12$ é constante com relação a $x$ , mova $- 12$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{0}) - 12 \int_{- 3}^{0} x d x$

Etapa 4.11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{0}) - 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{0})$

Etapa 4.12

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{0}) - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0})$

Etapa 4.12.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.2.1

Avalie $\frac{1}{4} x^{4}$ em $0$ e em $- 3$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{0}) - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0})$

Etapa 4.12.2.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $0$ e em $- 3$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0})$

Etapa 4.12.2.3

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $0$ e em $- 3$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.2.4.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.3

Eleve $- 3$ à potência de $4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 81 - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.4

Multiplique $81$ por $- 1$ .

$0 - 81 (\frac{1}{4}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.5

Combine $- 81$ e $\frac{1}{4}$ .

$0 + \frac{- 81}{4} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - \frac{81}{4} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.7

Subtraia $\frac{81}{4}$ de $0$ .

$- \frac{81}{4} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{81}{4} - (\frac{0}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.9

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.2.4.9.1

Fatore $3$ de $0$ .

$- \frac{81}{4} - (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.2.4.9.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- \frac{81}{4} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.9.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{81}{4} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.9.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{81}{4} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.9.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- \frac{81}{4} - (0 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.10

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$- \frac{81}{4} - (0 - \frac{- 27}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.11

Cancele o fator comum de $- 27$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.2.4.11.1

Fatore $3$ de $- 27$ .

$- \frac{81}{4} - (0 - \frac{3 \cdot - 9}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.2.4.11.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- \frac{81}{4} - (0 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.11.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{81}{4} - (0 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.11.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{81}{4} - (0 - \frac{- 9}{1}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.11.2.4

Divida $- 9$ por $1$ .

$- \frac{81}{4} - (0 - - 9) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.12

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$- \frac{81}{4} - (0 + 9) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.13

Some $0$ e $9$ .

$- \frac{81}{4} - 1 \cdot 9 - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.14

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$- \frac{81}{4} - 9 - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.15

Para escrever $- 9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{81}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4} - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.16

Combine $- 9$ e $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{81}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 81 - 9 \cdot 4}{4} - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.18

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.2.4.18.1

Multiplique $- 9$ por $4$ .

$\frac{- 81 - 36}{4} - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.18.2

Subtraia $36$ de $- 81$ .

$\frac{- 117}{4} - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{117}{4} - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.20

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{117}{4} - 12 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.21

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.2.4.21.1

Fatore $2$ de $0$ .

$- \frac{117}{4} - 12 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.21.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.2.4.21.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{117}{4} - 12 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.21.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{117}{4} - 12 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.21.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{117}{4} - 12 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.21.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- \frac{117}{4} - 12 (0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Etapa 4.12.2.4.22

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$- \frac{117}{4} - 12 (0 - \frac{9}{2})$

Etapa 4.12.2.4.23

Subtraia $\frac{9}{2}$ de $0$ .

$- \frac{117}{4} - 12 (- \frac{9}{2})$

Etapa 4.12.2.4.24

Multiplique $- 1$ por $- 12$ .

$- \frac{117}{4} + 12 (\frac{9}{2})$

Etapa 4.12.2.4.25

Combine $12$ e $\frac{9}{2}$ .

$- \frac{117}{4} + \frac{12 \cdot 9}{2}$

Etapa 4.12.2.4.26

Multiplique $12$ por $9$ .

$- \frac{117}{4} + \frac{108}{2}$

Etapa 4.12.2.4.27

Cancele o fator comum de $108$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.2.4.27.1

Fatore $2$ de $108$ .

$- \frac{117}{4} + \frac{2 \cdot 54}{2}$

Etapa 4.12.2.4.27.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.2.4.27.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{117}{4} + \frac{2 \cdot 54}{2 (1)}$

Etapa 4.12.2.4.27.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{117}{4} + \frac{2 \cdot 54}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.12.2.4.27.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{117}{4} + \frac{54}{1}$

Etapa 4.12.2.4.27.2.4

Divida $54$ por $1$ .

$- \frac{117}{4} + 54$

Etapa 4.12.2.4.28

Para escrever $54$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{117}{4} + 54 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 4.12.2.4.29

Combine $54$ e $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{117}{4} + \frac{54 \cdot 4}{4}$

Etapa 4.12.2.4.30

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 117 + 54 \cdot 4}{4}$

Etapa 4.12.2.4.31

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.2.4.31.1

Multiplique $54$ por $4$ .

$\frac{- 117 + 216}{4}$

Etapa 4.12.2.4.31.2

Some $- 117$ e $216$ .

$\frac{99}{4}$

Etapa 5

$A r e a = \int_{0}^{4} - x^{3} + x^{2} + 12 x d x - \int_{0}^{4} 0 d x$

Etapa 6

Integre para encontrar a área entre $0$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{4} - x^{3} + x^{2} + 12 x - (0) d x$

Etapa 6.2

Subtraia $0$ de $- x^{3} + x^{2} + 12 x$ .

$\int_{0}^{4} - x^{3} + x^{2} + 12 x d x$

Etapa 6.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{4} - x^{3} d x + \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} 12 x d x$

Etapa 6.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{0}^{4} x^{3} d x + \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} 12 x d x$

Etapa 6.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} 12 x d x$

Etapa 6.6

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} 12 x d x$

Etapa 6.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} 12 x d x$

Etapa 6.8

Como $12$ é constante com relação a $x$ , mova $12$ para fora da integral.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} + 12 \int_{0}^{4} x d x$

Etapa 6.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} + 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4})$

Etapa 6.10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Etapa 6.10.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.2.1

Avalie $\frac{x^{4}}{4}$ em $4$ e em $0$ .

$- ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Etapa 6.10.2.2

Avalie $\frac{1}{3} x^{3}$ em $4$ e em $0$ .

$- (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Etapa 6.10.2.3

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $4$ e em $0$ .

$- (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.2.4.1

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$- (\frac{256}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.2

Cancele o fator comum de $256$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.2.4.2.1

Fatore $4$ de $256$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.2.4.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- (\frac{64}{1} - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.2.2.4

Divida $64$ por $1$ .

$- (64 - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- (64 - \frac{0}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.4

Cancele o fator comum de $0$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.2.4.4.1

Fatore $4$ de $0$ .

$- (64 - \frac{4 (0)}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.2.4.4.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$- (64 - \frac{0}{1}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.4.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- (64 - 0) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- (64 + 0) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.6

Some $64$ e $0$ .

$- 1 \cdot 64 + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.7

Multiplique $- 1$ por $64$ .

$- 64 + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.8

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$- 64 + \frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $64$ .

$- 64 + \frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 64 + \frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0 + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.11

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$- 64 + \frac{64}{3} + 0 (\frac{1}{3}) + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.12

Multiplique $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$- 64 + \frac{64}{3} + 0 + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.13

Some $\frac{64}{3}$ e $0$ .

$- 64 + \frac{64}{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.14

Para escrever $- 64$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- 64 \cdot \frac{3}{3} + \frac{64}{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.15

Combine $- 64$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 64 \cdot 3}{3} + \frac{64}{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 64 \cdot 3 + 64}{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.17

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.2.4.17.1

Multiplique $- 64$ por $3$ .

$\frac{- 192 + 64}{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.17.2

Some $- 192$ e $64$ .

$\frac{- 128}{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{128}{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.19

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$- \frac{128}{3} + 12 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.20

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.2.4.20.1

Fatore $2$ de $16$ .

$- \frac{128}{3} + 12 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.20.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.2.4.20.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{128}{3} + 12 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.20.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{128}{3} + 12 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.20.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{128}{3} + 12 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.20.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$- \frac{128}{3} + 12 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.10.2.4.21

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{128}{3} + 12 (8 - \frac{0}{2})$

Etapa 6.10.2.4.22

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.2.4.22.1

Fatore $2$ de $0$ .

$- \frac{128}{3} + 12 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Etapa 6.10.2.4.22.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.2.4.22.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{128}{3} + 12 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 6.10.2.4.22.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{128}{3} + 12 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 6.10.2.4.22.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{128}{3} + 12 (8 - \frac{0}{1})$

Etapa 6.10.2.4.22.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- \frac{128}{3} + 12 (8 - 0)$

Etapa 6.10.2.4.23

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- \frac{128}{3} + 12 (8 + 0)$

Etapa 6.10.2.4.24

Some $8$ e $0$ .

$- \frac{128}{3} + 12 \cdot 8$

Etapa 6.10.2.4.25

Multiplique $12$ por $8$ .

$- \frac{128}{3} + 96$

Etapa 6.10.2.4.26

Para escrever $96$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{128}{3} + 96 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 6.10.2.4.27

Combine $96$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{128}{3} + \frac{96 \cdot 3}{3}$

Etapa 6.10.2.4.28

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 128 + 96 \cdot 3}{3}$

Etapa 6.10.2.4.29

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.2.4.29.1

Multiplique $96$ por $3$ .

$\frac{- 128 + 288}{3}$

Etapa 6.10.2.4.29.2

Some $- 128$ e $288$ .

$\frac{160}{3}$

Etapa 7

Some as áreas $\frac{99}{4} + \frac{160}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Para escrever $\frac{99}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{99}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{160}{3}$

Etapa 7.2

Para escrever $\frac{160}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{99}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{160}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 7.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Multiplique $\frac{99}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{99 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{160}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{99 \cdot 3}{12} + \frac{160}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 7.3.3

Multiplique $\frac{160}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{99 \cdot 3}{12} + \frac{160 \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Etapa 7.3.4

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{99 \cdot 3}{12} + \frac{160 \cdot 4}{12}$

Etapa 7.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{99 \cdot 3 + 160 \cdot 4}{12}$

Etapa 7.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Multiplique $99$ por $3$ .

$\frac{297 + 160 \cdot 4}{12}$

Etapa 7.5.2

Multiplique $160$ por $4$ .

$\frac{297 + 640}{12}$

Etapa 7.5.3

Some $297$ e $640$ .

$\frac{937}{12}$

Etapa 8