Cálculo Exemplos

$\int \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ é positivo.

$\int \frac{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{\sqrt{\cos^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{\cos (t)}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Combine $\frac{\cos (t)}{\sin^{2} (t)}$ e $\cos (t)$ .

$\int \frac{\cos (t) \cos (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Etapa 2.2.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Etapa 2.2.3

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Etapa 2.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (t)} d t$

Etapa 2.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Etapa 2.2.6

Converta de $\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ em $\cot^{2} (t)$ .

$\int \cot^{2} (t) d t$

Etapa 3

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\cot^{2} (t)$ como $- 1 + \csc^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Etapa 5

Aplique a regra da constante.

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

Etapa 6

Como a derivada de $- \cot (t)$ é $\csc^{2} (t)$ , a integral de $\csc^{2} (t)$ é $- \cot (t)$ .

$- t + C - \cot (t) + C$

Etapa 7

Simplifique.

$- t - \cot (t) + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (x)$ .

$- \arcsin (x) - \cot (\arcsin (x)) + C$