Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{2} + 18}{x^{3} - 9 x} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3} - 9 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + 18}{x \cdot x^{2} - 9 x}$

Etapa 1.1.1.1.2

Fatore $x$ de $- 9 x$ .

$\frac{x^{2} + 18}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 9}$

Etapa 1.1.1.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ .

$\frac{x^{2} + 18}{x (x^{2} - 9)}$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 18}{x (x^{2} - 3^{2})}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{x^{2} + 18}{x ((x + 3) (x - 3))}$

Etapa 1.1.1.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{x^{2} + 18}{x (x + 3) (x - 3)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 3}$

Etapa 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C}{x - 3}$

Etapa 1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{(x^{2} + 18) (x (x + 3) (x - 3))}{x (x + 3) (x - 3)} = \frac{A (x (x + 3) (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} + 18) (x (x + 3) (x - 3))}{x (x + 3) (x - 3)} = \frac{A (x (x + 3) (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x^{2} + 18) ((x + 3) (x - 3))}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{A (x (x + 3) (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} + 18) ((x + 3) (x - 3))}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{A (x (x + 3) (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x^{2} + 18) (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x (x + 3) (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.7

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} + 18) (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x (x + 3) (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.7.2

Divida $x^{2} + 18$ por $1$ .

$x^{2} + 18 = \frac{A (x (x + 3) (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} + 18 = \frac{A (x (x + 3) (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.8.1.2

Divida $A ((x + 3) (x - 3))$ por $1$ .

$x^{2} + 18 = A ((x + 3) (x - 3)) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.8.2

Expanda $(x + 3) (x - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 18 = A (x (x - 3) + 3 (x - 3)) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.8.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 18 = A (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.8.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 18 = A (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.8.3

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.3.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 3$ e $3 x$ .

$x^{2} + 18 = A (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.8.3.2

Some $- 3 x$ e $3 x$ .

$x^{2} + 18 = A (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.8.3.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$x^{2} + 18 = A (x \cdot x + 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.8.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.4.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + 18 = A (x^{2} + 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.8.4.2

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$x^{2} + 18 = A (x^{2} - 9) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.8.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 18 = A x^{2} + A \cdot - 9 + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.8.6

Mova $- 9$ para a esquerda de $A$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.8.7

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.7.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + \frac{B (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.8.7.2

Divida $(B) (x (x - 3))$ por $1$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + (B) (x (x - 3)) + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.8.8

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B (x \cdot x + x \cdot - 3) + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.8.9

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B (x^{2} + x \cdot - 3) + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.8.10

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B (x^{2} - 3 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.8.11

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} + B (- 3 x) + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.8.12

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 B x + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.8.13

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.13.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 B x + \frac{C (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.1.8.13.2

Divida $(C) (x (x + 3))$ por $1$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 B x + (C) (x (x + 3))$

Etapa 1.1.8.14

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 B x + C (x \cdot x + x \cdot 3)$

Etapa 1.1.8.15

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 B x + C (x^{2} + x \cdot 3)$

Etapa 1.1.8.16

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 B x + C (x^{2} + 3 \cdot x)$

Etapa 1.1.8.17

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 B x + C x^{2} + C (3 x)$

Etapa 1.1.8.18

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 B x + C x^{2} + 3 C x$

Etapa 1.1.9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.1

Mova $B$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 x B + C x^{2} + 3 C x$

Etapa 1.1.9.2

Mova $- 9 A$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} + B x^{2} - 3 x B + C x^{2} + 3 C x - 9 A$

Etapa 1.1.9.3

Mova $- 3 x B$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - 3 x B + 3 C x - 9 A$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B + C$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 3 B + 3 C$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$18 = - 9 A$

Etapa 1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

$18 = - 9 A$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

$18 = - 9 A$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $18 = - 9 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $- 9 A = 18$ .

$- 9 A = 18$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

Etapa 1.3.1.2

Divida cada termo em $- 9 A = 18$ por $- 9$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.1

Divida cada termo em $- 9 A = 18$ por $- 9$ .

$\frac{- 9 A}{- 9} = \frac{18}{- 9}$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

Etapa 1.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 9 A}{- 9} = \frac{18}{- 9}$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

Etapa 1.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{18}{- 9}$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

$A = \frac{18}{- 9}$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

$A = \frac{18}{- 9}$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

Etapa 1.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.3.1

Divida $18$ por $- 9$ .

$A = - 2$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

$A = - 2$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

$A = - 2$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

$A = - 2$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 2$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = A + B + C$ por $- 2$ .

$1 = (- 2) + B + C$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$1 = - 2 + B + C$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

$1 = - 2 + B + C$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

$1 = - 2 + B + C$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $1 = - 2 + B + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $- 2 + B + C = 1$ .

$- 2 + B + C = 1$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

Etapa 1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$B + C = 1 + 2$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

Etapa 1.3.3.2.2

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$B = 1 + 2 - C$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

Etapa 1.3.3.2.3

Some $1$ e $2$ .

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $3 - C$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $0 = - 3 B + 3 C$ por $3 - C$ .

$0 = - 3 (3 - C) + 3 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique $- 3 (3 - C) + 3 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 = - 3 \cdot 3 - 3 (- C) + 3 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Etapa 1.3.4.2.1.1.2

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$0 = - 9 - 3 (- C) + 3 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Etapa 1.3.4.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$0 = - 9 + 3 C + 3 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$0 = - 9 + 3 C + 3 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Etapa 1.3.4.2.1.2

Some $3 C$ e $3 C$ .

$0 = - 9 + 6 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$0 = - 9 + 6 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$0 = - 9 + 6 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$0 = - 9 + 6 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Etapa 1.3.5

Resolva $C$ em $0 = - 9 + 6 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Reescreva a equação como $- 9 + 6 C = 0$ .

$- 9 + 6 C = 0$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Etapa 1.3.5.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$6 C = 9$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Etapa 1.3.5.3

Divida cada termo em $6 C = 9$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.3.1

Divida cada termo em $6 C = 9$ por $6$ .

$\frac{6 C}{6} = \frac{9}{6}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Etapa 1.3.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 C}{6} = \frac{9}{6}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Etapa 1.3.5.3.2.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{9}{6}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$C = \frac{9}{6}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$C = \frac{9}{6}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Etapa 1.3.5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.3.3.1

Cancele o fator comum de $9$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.3.3.1.1

Fatore $3$ de $9$ .

$C = \frac{3 (3)}{6}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Etapa 1.3.5.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.3.3.1.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$C = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Etapa 1.3.5.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$C = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Etapa 1.3.5.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$C = \frac{3}{2}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$C = \frac{3}{2}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$C = \frac{3}{2}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$C = \frac{3}{2}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$C = \frac{3}{2}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$C = \frac{3}{2}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Etapa 1.3.6

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $\frac{3}{2}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $B = 3 - C$ por $\frac{3}{2}$ .

$B = 3 - (\frac{3}{2})$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

Etapa 1.3.6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.6.2.1

Simplifique $3 - (\frac{3}{2})$ .

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Etapa 1.3.6.2.1.1

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$B = 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

Etapa 1.3.6.2.1.2

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$B = \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

Etapa 1.3.6.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$B = \frac{3 \cdot 2 - 3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

Etapa 1.3.6.2.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.6.2.1.4.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$B = \frac{6 - 3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

Etapa 1.3.6.2.1.4.2

Subtraia $3$ de $6$ .

$B = \frac{3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

$B = \frac{3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

$B = \frac{3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

$B = \frac{3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

$B = \frac{3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

Etapa 1.3.7

Liste todas as soluções.

$B = \frac{3}{2}, C = \frac{3}{2}, A = - 2$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C}{x - 3}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{2}{x} + \frac{\frac{3}{2}}{x + 3} + \frac{\frac{3}{2}}{x - 3}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{2}{x} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x + 3} + \frac{\frac{3}{2}}{x - 3}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{x + 3}$ .

$- \frac{2}{x} + \frac{3}{2 (x + 3)} + \frac{\frac{3}{2}}{x - 3}$

Etapa 1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{2}{x} + \frac{3}{2 (x + 3)} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x - 3}$

Etapa 1.5.4

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{x - 3}$ .

$\int - \frac{2}{x} + \frac{3}{2 (x + 3)} + \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{2 (x + 3)} d x + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{2 (x + 3)} d x + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$- (2 \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{3}{2 (x + 3)} d x + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Etapa 5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{2 (x + 3)} d x + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{2 (x + 3)} d x + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Etapa 7

Como $\frac{3}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{3}{2}$ para fora da integral.

$- 2 (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x + 3} d x + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Etapa 8

Deixe $u_{1} = x + 3$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u_{1} = x + 3$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Etapa 8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 8.1.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 8.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- 2 (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$- 2 (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Etapa 10

Como $\frac{3}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{3}{2}$ para fora da integral.

$- 2 (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x - 3} d x$

Etapa 11

Deixe $u_{2} = x - 3$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 11.1

Deixe $u_{2} = x - 3$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 11.1.1

Diferencie $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Etapa 11.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 11.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 11.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 11.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 11.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- 2 (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 12

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- 2 (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 13

Simplifique.

$- 2 \ln (| x |) + \frac{3}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 14

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 14.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + 3$ .

$- 2 \ln (| x |) + \frac{3}{2} \ln (| x + 3 |) + \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 14.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 3$ .

$- 2 \ln (| x |) + \frac{3}{2} \ln (| x + 3 |) + \frac{3}{2} \ln (| x - 3 |) + C$