Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{3} + x^{2} - x + 1}{x^{3}} d x$

Etapa 1

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (x^{3} + x^{2} - x + 1) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Etapa 2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{3} + x^{2} - x + 1) x^{3 \cdot - 1} d x$

Etapa 2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int (x^{3} + x^{2} - x + 1) x^{- 3} d x$

Etapa 3

Expanda $(x^{3} + x^{2} - x + 1) x^{- 3}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (x^{3} + x^{2} - x) x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (x^{3} + x^{2}) x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x^{3} x^{- 3} + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Etapa 3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{3 - 3} + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Etapa 3.5

Subtraia $3$ de $3$ .

$\int x^{0} + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Etapa 3.6

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\int 1 + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Etapa 3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 1 + x^{2 - 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Etapa 3.8

Subtraia $3$ de $2$ .

$\int 1 + x^{- 1} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Etapa 3.9

Fatore o negativo.

$\int 1 + x^{- 1} - (x \cdot x^{- 3}) + 1 x^{- 3} d x$

Etapa 3.10

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int 1 + x^{- 1} - (x^{1} x^{- 3}) + 1 x^{- 3} d x$

Etapa 3.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 1 + x^{- 1} - x^{1 - 3} + 1 x^{- 3} d x$

Etapa 3.12

Subtraia $3$ de $1$ .

$\int 1 + x^{- 1} - x^{- 2} + 1 x^{- 3} d x$

Etapa 3.13

Multiplique $x^{- 3}$ por $1$ .

$\int 1 + x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3} d x$

Etapa 3.14

Reordene $1$ e $x^{- 1}$ .

$\int x^{- 1} + 1 - x^{- 2} + x^{- 3} d x$

Etapa 3.15

Mova $1$ .

$\int x^{- 1} - x^{- 2} + 1 + x^{- 3} d x$

Etapa 3.16

Mova $1$ .

$\int x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3} + 1 d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{- 1} d x + \int - x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Etapa 5

A integral de $x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| x |) + C - \int x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C) + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int d x$

Etapa 9

Aplique a regra da constante.

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + x + C$

Etapa 10

Simplifique.

$\ln (| x |) + \frac{1}{x} - \frac{1}{2 x^{2}} + x + C$