Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{e^{x}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{e^{x}}$ como $e^{\frac{x}{2}}$ .

$y = e^{\frac{x}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 4.2

Diferencie.

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Etapa 4.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \cdot 1$

Etapa 4.2.4

Multiplique $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ por $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$