Cálculo Exemplos

$\ln (| \cos (\frac{π}{x}) |)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = | \cos (\frac{π}{x}) |$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $| \cos (\frac{π}{x}) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \cos (\frac{π}{x}) |]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \cos (\frac{π}{x}) |]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $| \cos (\frac{π}{x}) |$ .

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [| \cos (\frac{π}{x}) |]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = | x |$ e $g (x) = \cos (\frac{π}{x})$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\cos (\frac{π}{x})$ .

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})])$

Etapa 2.2

A derivada de $| u_{2} |$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\cos (\frac{π}{x})$ .

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} (\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})])$

Etapa 3

Multiplique $\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) |}$ por $\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |}$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) | | \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

Etapa 4

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

Etapa 5

Eleve $\cos (\frac{π}{x})$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{1} (\frac{π}{x}) \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

Etapa 6

Eleve $\cos (\frac{π}{x})$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{1} (\frac{π}{x}) \cos^{1} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

Etapa 7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| {\cos (\frac{π}{x})}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

Etapa 8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{π}{x}$ .

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Etapa 9.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $\frac{π}{x}$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}])$

Etapa 9.2

A derivada de $\cos (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $- \sin (u_{3})$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}])$

Etapa 9.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $\frac{π}{x}$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (- \sin (\frac{π}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}])$

Etapa 10

Diferencie.

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Etapa 10.1

Combine $\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ e $\sin (\frac{π}{x})$ .

$- \frac{\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}]$

Etapa 10.2

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{π}{x}$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- \frac{\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 10.3

Combine frações.

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Etapa 10.3.1

Combine $π$ e $\frac{\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ .

$- \frac{π (\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x}))}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 10.3.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 10.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (- x^{- 2})$

Etapa 10.5

Combine frações.

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Etapa 10.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} x^{- 2}$

Etapa 10.5.2

Multiplique $\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ por $1$ .

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} x^{- 2}$

Etapa 10.5.3

Combine $\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ e $x^{- 2}$ .

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x}) x^{- 2}}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$

Etapa 10.5.4

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) | x^{2}}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Reordene os termos.

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{x^{2} | \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$

Etapa 11.2

Remova os termos não negativos do valor absoluto.

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{x^{2} \cos^{2} (\frac{π}{x})}$

Etapa 11.3

Cancele o fator comum de $\cos (\frac{π}{x})$ e $\cos^{2} (\frac{π}{x})$ .

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Etapa 11.3.1

Fatore $\cos (\frac{π}{x})$ de $π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x}) (π \sin (\frac{π}{x}))}{x^{2} \cos^{2} (\frac{π}{x})}$

Etapa 11.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.3.2.1

Fatore $\cos (\frac{π}{x})$ de $x^{2} \cos^{2} (\frac{π}{x})$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x}) (π \sin (\frac{π}{x}))}{\cos (\frac{π}{x}) (x^{2} \cos (\frac{π}{x}))}$

Etapa 11.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (\frac{π}{x}) (π \sin (\frac{π}{x}))}{\cos (\frac{π}{x}) (x^{2} \cos (\frac{π}{x}))}$

Etapa 11.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{π \sin (\frac{π}{x})}{x^{2} \cos (\frac{π}{x})}$

Etapa 11.4

Separe as frações.

$\frac{π}{x^{2}} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{x})}{\cos (\frac{π}{x})}$

Etapa 11.5

Converta de $\frac{\sin (\frac{π}{x})}{\cos (\frac{π}{x})}$ em $\tan (\frac{π}{x})$ .

$\frac{π}{x^{2}} \tan (\frac{π}{x})$

Etapa 11.6

Combine $\frac{π}{x^{2}}$ e $\tan (\frac{π}{x})$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{x})}{x^{2}}$