Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x - 3}{2 x^{2} + x + 1} d x$

Etapa 1

Divida $2 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x - 3$ por $2 x^{2} + x + 1$ .

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$3$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x^{2}$ .

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$3$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} + x^{2} + x$ .

						$x$
$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
					-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$x$
$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
					-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Etapa 1.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

						$x$
$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
					-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$

Etapa 1.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 6 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x^{2}$ .

						$x$	-	$3$
$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
					-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$

Etapa 1.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$x$	-	$3$
$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
					-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$
							-	$6 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$

Etapa 1.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 6 x^{2} - 3 x - 3$ .

						$x$	-	$3$
$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
					-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$
							+	$6 x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$

Etapa 1.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$x$	-	$3$
$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
					-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$
							+	$6 x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$
												$0$

Etapa 1.11

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$\int x - 3 d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x d x + \int - 3 d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 3 d x$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C$

Etapa 5

Simplifique.

$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + C$