Cálculo Exemplos

$\int_{2}^{4} \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x} d x$

Etapa 1

Deixe $x = 2 \sec (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec (t) \tan (t)$ é positivo.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $4$ de $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $4$ de $- 4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $4$ de $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.6

Reescreva $4 \tan^{2} (t)$ como ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $2 \sec (t)$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $2 \sec (t)$ de $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\tan (t))) d t$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2.3

Reescreva a expressão.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 \tan (t) \tan (t) d t$

Etapa 3

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Etapa 5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Etapa 6

Some $1$ e $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 \tan^{2} (t) d t$

Etapa 7

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (t) d t$

Etapa 8

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$2 (\int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 d t + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (t) d t)$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$2 (- t]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (t) d t)$

Etapa 11

Como a derivada de $\tan (t)$ é $\sec^{2} (t)$ , a integral de $\sec^{2} (t)$ é $\tan (t)$ .

$2 (- t]_{0}^{\frac{π}{3}} + \tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Etapa 12

Combine $- t]_{0}^{\frac{π}{3}}$ e $\tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}}$ .

$2 (- t + \tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Etapa 13

Substitua e simplifique.

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Etapa 13.1

Avalie $- t + \tan (t)$ em $\frac{π}{3}$ e em $0$ .

$2 ((- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (- 0 + \tan (0)))$

Etapa 13.2

Simplifique.

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Etapa 13.2.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (0 + \tan (0)))$

Etapa 13.2.2

Some $0$ e $\tan (0)$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0))$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - \tan (0))$

Etapa 14.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - 0)$

Etapa 14.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} + 0)$

Etapa 14.4

Some $- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ e $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3})$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (- \frac{π}{3}) + 2 \sqrt{3}$

Etapa 15.2

Multiplique $2 (- \frac{π}{3})$ .

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Etapa 15.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Etapa 15.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{π}{3}$ .

$\frac{- 2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Etapa 15.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Etapa 16

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Forma decimal:

$1.36970651 \dots$

Etapa 17