Cálculo Exemplos

$\ln (1 + \frac{a}{x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + \frac{a}{x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + \frac{a}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + \frac{a}{x}$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \frac{a}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])$

Etapa 2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$

Etapa 2.4

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{a}{x}$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 2.5

Combine frações.

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Etapa 2.5.1

Combine $a$ e $\frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$ .

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.5.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} (- x^{- 2})$

Etapa 2.7

Combine frações.

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Etapa 2.7.1

Combine $\frac{a}{1 + \frac{a}{x}}$ e $x^{- 2}$ .

$- \frac{a x^{- 2}}{1 + \frac{a}{x}}$

Etapa 2.7.2

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{a}{1 x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}$

Etapa 3.2

Combine os termos.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}$

Etapa 3.2.2

Combine $\frac{a}{x}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x^{2}}{x}}$

Etapa 3.2.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 3.2.3.1

Fatore $x$ de $a x^{2}$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x}}$

Etapa 3.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x^{1}}}$

Etapa 3.2.3.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}$

Etapa 3.2.3.2.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}$

Etapa 3.2.3.2.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x}{1}}$

Etapa 3.2.3.2.5

Divida $a x$ por $1$ .

$- \frac{a}{x^{2} + a x}$

Etapa 3.3

Fatore $x$ de $x^{2} + a x$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$- \frac{a}{x \cdot x + a x}$

Etapa 3.3.2

Fatore $x$ de $a x$ .

$- \frac{a}{x \cdot x + x a}$

Etapa 3.3.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x a$ .

$- \frac{a}{x (x + a)}$