Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{6 x}$

Etapa 1

Mantenha $x = f (x)$ , calcule o logaritmo natural dos dois lados $\ln (x) = \ln (f (x))$ .

$\ln (f (x)) = \ln (x^{6 x})$

Etapa 2

Expanda $\ln (x^{6 x})$ movendo $6 x$ para fora do logaritmo.

$\ln (f (x)) = 6 x \ln (x)$

Etapa 3

Diferencie a expressão usando a regra da cadeia, lembrando que $y$ é uma função de $x$ .

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Etapa 3.1

Diferencie o lado esquerdo $\ln (f (x))$ usando a regra da cadeia.

$\frac{x'}{x} = 6 x \ln (x)$

Etapa 3.2

Diferencie o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Diferencie $6 x \ln (x)$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{d}{d x} [6 x \ln (x)]$

Etapa 3.2.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x \ln (x)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$\frac{x'}{x} = 6 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{x'}{x} = 6 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.4

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x'}{x} = 6 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.2.5.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x'}{x} = 6 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.5.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x'}{x} = 6 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.5.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x'}{x} = 6 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x'}{x} = 6 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Etapa 3.2.5.4

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$\frac{x'}{x} = 6 (1 + \ln (x))$

Etapa 3.2.6

Simplifique.

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Etapa 3.2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x'}{x} = 6 \cdot 1 + 6 \ln (x)$

Etapa 3.2.6.2

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{x'}{x} = 6 + 6 \ln (x)$

Etapa 3.2.6.3

Reordene os termos.

$\frac{x'}{x} = 6 \ln (x) + 6$

Etapa 4

Isole $x'$ e substitua a função original por $x$ no lado direito.

$x' = (6 \ln (x) + 6) x^{6 x}$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1

Simplifique $6 \ln (x)$ movendo $6$ para dentro do logaritmo.

$x' = (\ln (x^{6}) + 6) x^{6 x}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x' = \ln (x^{6}) x^{6 x} + 6 x^{6 x}$

Etapa 5.3

Reordene os fatores em $\ln (x^{6}) x^{6 x} + 6 x^{6 x}$ .

$x' = x^{6 x} \ln (x^{6}) + 6 x^{6 x}$