Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 4} \sqrt{\frac{x^{2} - 3 x + 4}{2 x^{2} - x - 1}}$

Etapa 1

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\sqrt{lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 3 x + 4}{2 x^{2} - x - 1}}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x + 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Etapa 3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 3 x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Etapa 4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 3 x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Etapa 5

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Etapa 6

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1}}$

Etapa 8

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1}}$

Etapa 9

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1}}$

Etapa 10

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Etapa 11

Avalie os limites substituindo $4$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\sqrt{\frac{4^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Etapa 11.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\sqrt{\frac{4^{2} - 3 \cdot 4 + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Etapa 11.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\sqrt{\frac{4^{2} - 3 \cdot 4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Etapa 11.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\sqrt{\frac{4^{2} - 3 \cdot 4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Etapa 12

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{16 - 3 \cdot 4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Etapa 12.2

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{16 - 12 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Etapa 12.3

Subtraia $12$ de $16$ .

$\sqrt{\frac{4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Etapa 12.4

Some $4$ e $4$ .

$\sqrt{\frac{8}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Etapa 12.5

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{8}{2 \cdot 16 - 4 - 1 \cdot 1}}$

Etapa 12.6

Multiplique $2$ por $16$ .

$\sqrt{\frac{8}{32 - 4 - 1 \cdot 1}}$

Etapa 12.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\sqrt{\frac{8}{32 - 4 - 1}}$

Etapa 12.8

Subtraia $4$ de $32$ .

$\sqrt{\frac{8}{28 - 1}}$

Etapa 12.9

Subtraia $1$ de $28$ .

$\sqrt{\frac{8}{27}}$

Etapa 12.10

Reescreva $\sqrt{\frac{8}{27}}$ como $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{27}}$ .

$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{27}}$

Etapa 12.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.11.1

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.11.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{27}}$

Etapa 12.11.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{27}}$

Etapa 12.11.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{27}}$

Etapa 12.12

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.12.1

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.12.1.1

Fatore $9$ de $27$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{9 (3)}}$

Etapa 12.12.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}$

Etapa 12.12.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}}$

Etapa 12.13

Multiplique $\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 12.14

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.14.1

Multiplique $\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 12.14.2

Mova $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Etapa 12.14.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Etapa 12.14.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Etapa 12.14.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 12.14.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 12.14.7

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.14.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 12.14.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 12.14.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 12.14.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.14.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 12.14.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{1}}$

Etapa 12.14.7.5

Avalie o expoente.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Etapa 12.15

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.15.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3 \cdot 3}$

Etapa 12.15.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{3 \cdot 3}$

Etapa 12.16

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{9}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2 \sqrt{6}}{9}$

Forma decimal:

$0.54433105 \dots$