Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int_{1}^{e} \ln (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Etapa 1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

Etapa 1.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{- 3} d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x^{- 3}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{2 x^{2}})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine $\ln (x)$ e $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x (2 x^{2})} d x$

Etapa 3.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 (x^{1} x^{2})} d x$

Etapa 3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 x^{1 + 2}} d x$

Etapa 3.5

Some $1$ e $2$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - - \int_{1}^{e} \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + 1 \int_{1}^{e} \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Etapa 5.2

Multiplique $\int_{1}^{e} \frac{1}{2 x^{3}} d x$ por $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 7

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} \int_{1}^{e} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Etapa 7.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} \int_{1}^{e} x^{3 \cdot - 1} d x$

Etapa 7.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} \int_{1}^{e} x^{- 3} d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{e}$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Avalie $- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}$ em $e$ e em $1$ .

$(- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{e}$

Etapa 9.2

Avalie $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ em $e$ e em $1$ .

$(- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} e^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Etapa 9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} e^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Etapa 9.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} e^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Etapa 9.3.3

Combine $e^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Etapa 9.3.4

Mova $e^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Etapa 9.3.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

Etapa 9.3.6

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})$

Etapa 9.3.7

Para escrever $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2}) \cdot \frac{2 e^{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 9.3.8

Combine $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})$ e $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2}) (2 e^{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 9.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \ln (e) + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2}) (2 e^{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 9.3.10

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \ln (e) + \frac{2}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2}) e^{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 9.3.11

Combine $e^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \ln (e) + \frac{e^{2} \cdot 2}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 9.3.12

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2}$ .

$\frac{- \ln (e) + \frac{2 \cdot e^{2}}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 9.3.13

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.13.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- \ln (e) + \frac{2 e^{2}}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 9.3.13.2

Divida $e^{2}$ por $1$ .

$\frac{- \ln (e) + e^{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1.1

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 + e^{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 10.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1 + e^{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 10.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 1 + e^{2} (- \frac{1}{2 e^{2}}) + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 10.1.1.4

Cancele o fator comum de $e^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2 e^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- 1 + e^{2} \frac{- 1}{2 e^{2}} + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 10.1.1.4.2

Fatore $e^{2}$ de $2 e^{2}$ .

$\frac{- 1 + e^{2} \frac{- 1}{e^{2} \cdot 2} + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 10.1.1.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 + e^{2} \frac{- 1}{e^{2} \cdot 2} + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 10.1.1.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1 + \frac{- 1}{2} + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 10.1.1.5

Combine $e^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 10.1.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{- 1 - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 10.1.1.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 10.1.1.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 10.1.1.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 10.1.1.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\frac{- 2 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 10.1.1.10.2

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$\frac{\frac{- 3}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 10.1.1.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{- 3 + e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 10.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{- 3 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 10.1.3

Multiplique $\frac{- 3 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.3.1

Multiplique $\frac{- 3 + e^{2}}{2}$ por $\frac{1}{2 e^{2}}$ .

$\frac{- 3 + e^{2}}{2 (2 e^{2})} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 10.1.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 10.1.4

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}} + \frac{0}{2}$

Etapa 10.1.5

Divida $0$ por $2$ .

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}} + 0$

Etapa 10.2

Some $\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}}$ e $0$ .

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}}$

Forma decimal:

$0.14849853 \dots$