Cálculo Exemplos

$\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Etapa 4

Deixe $x = \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ é positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Simplifique $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

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Etapa 5.1.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 5.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{1}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $\sec (t)$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $\sec (t)$ de $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 5.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \sec (t) d t$

Etapa 6

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arctan (x)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Etapa 8

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$