Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 1$ e $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x + 1)}^{2} x - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - (x^{2} - 1) (2 u \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - (x^{2} - 1) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 4.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) (1 + 0))}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.5.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) \cdot 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Reescreva ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{2 ((x + 1) (x + 1)) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.2

Expanda $(x + 1) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x (x + 1) + 1 (x + 1)) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.3.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.3.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + x + 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.3.2

Some $x$ e $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 2 x + 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.5

Simplifique.

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Etapa 5.2.1.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{(2 x^{2} + 4 x + 2 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{(2 x^{2} + 4 x + 2) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.7

Simplifique.

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Etapa 5.2.1.7.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.7.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.7.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.7.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.7.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.7.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.7.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.7.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 (x \cdot x) + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.7.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.8

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + (- 2 x^{2} + 2) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.9

Expanda $(- 2 x^{2} + 2) (x + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} (x + 1) + 2 (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.10

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.10.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.10.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.10.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.10.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.10.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.10.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.10.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.10.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2$ .

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Etapa 5.2.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x + 0 - 2 x^{2} + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $4 x^{2} + 2 x$ e $0$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.3

Subtraia $2 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.4

Some $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 4 x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 4 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.3.1.2

Fatore $2$ de $4 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (2 x) + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.3.1.3

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.3.1.4

Fatore $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (2 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 2 x) + 2 (1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.3.1.5

Fatore $2$ de $2 (x^{2} + 2 x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 2 x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.3.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 5.3.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 2 x + 1^{2})}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.3.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 5.3.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{2 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.3.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{2}$ e ${(x + 1)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Fatore ${(x + 1)}^{2}$ de $2 {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.2.1

Fatore ${(x + 1)}^{2}$ de ${(x + 1)}^{4}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 2}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 2}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$