Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

Etapa 1

Reescreva o lado direito com expoentes racionais.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

Etapa 1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Etapa 4.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.2.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Etapa 4.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 4.3.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Etapa 4.3.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 4.3.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.6.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 4.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 4.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 4.3.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 4.3.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 4.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 4.3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 4.3.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 4.3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 4.3.12

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 4.3.13

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 4.3.14

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.14.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 4.3.14.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 4.3.14.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 4.3.14.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 4.3.14.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.14.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 4.3.14.5.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 4.3.14.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 4.3.15

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 4.3.16

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 4.3.17

Multiplique $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 4.3.18

Multiplique $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ por $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 0$

Etapa 4.3.19

Some $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.4

Simplifique.

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Etapa 4.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.4.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$