Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = 3 \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 3 \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ é positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.1.3

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $9$ de $9$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $9$ de $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $9$ de $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.6

Reescreva $9 \cos^{2} (t)$ como ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{1}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $3 \cos (t)$ .

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 2.2.2

Reescreva a expressão.

$\int d t$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$t + C$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\arcsin (\frac{x}{3}) + C$

Etapa 4.2

Reordene os termos.

$\arcsin (\frac{1}{3} x) + C$