Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3}}{x^{2}} d x$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Fatore $x^{- 3}$ de $x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3}$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore $x^{- 3}$ de $x^{- 1}$ .

$\int \frac{x^{- 3} x^{2} - x^{- 2} + x^{- 3}}{x^{2}} d x$

Etapa 1.1.2

Fatore $x^{- 3}$ de $- x^{- 2}$ .

$\int \frac{x^{- 3} x^{2} + x^{- 3} (- x) + x^{- 3}}{x^{2}} d x$

Etapa 1.1.3

Multiplique por $1$ .

$\int \frac{x^{- 3} x^{2} + x^{- 3} (- x) + x^{- 3} \cdot 1}{x^{2}} d x$

Etapa 1.1.4

Fatore $x^{- 3}$ de $x^{- 3} x^{2} + x^{- 3} (- x)$ .

$\int \frac{x^{- 3} (x^{2} - x) + x^{- 3} \cdot 1}{x^{2}} d x$

Etapa 1.1.5

Fatore $x^{- 3}$ de $x^{- 3} (x^{2} - x) + x^{- 3} \cdot 1$ .

$\int \frac{x^{- 3} (x^{2} - x + 1)}{x^{2}} d x$

Etapa 1.2

Mova $x^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} x^{3}} d x$

Etapa 1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2 + 3}} d x$

Etapa 1.3.2

Some $2$ e $3$ .

$\int \frac{x^{2} - x + 1}{x^{5}} d x$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Mova $x^{5}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (x^{2} - x + 1) {(x^{5})}^{- 1} d x$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} - x + 1) x^{5 \cdot - 1} d x$

Etapa 2.2.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\int (x^{2} - x + 1) x^{- 5} d x$

Etapa 3

Expanda $(x^{2} - x + 1) x^{- 5}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (x^{2} - x) x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x^{2} x^{- 5} - x \cdot x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

Etapa 3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{2 - 5} - x \cdot x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

Etapa 3.4

Subtraia $5$ de $2$ .

$\int x^{- 3} - x \cdot x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

Etapa 3.5

Fatore o negativo.

$\int x^{- 3} - (x \cdot x^{- 5}) + 1 x^{- 5} d x$

Etapa 3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int x^{- 3} - (x^{1} x^{- 5}) + 1 x^{- 5} d x$

Etapa 3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{- 3} - x^{1 - 5} + 1 x^{- 5} d x$

Etapa 3.8

Subtraia $5$ de $1$ .

$\int x^{- 3} - x^{- 4} + 1 x^{- 5} d x$

Etapa 3.9

Multiplique $x^{- 5}$ por $1$ .

$\int x^{- 3} - x^{- 4} + x^{- 5} d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{- 3} d x + \int - x^{- 4} d x + \int x^{- 5} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int - x^{- 4} d x + \int x^{- 5} d x$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - \int x^{- 4} d x + \int x^{- 5} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 4}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int x^{- 5} d x$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $x^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int x^{- 5} d x$

Etapa 8.2

Mova $x^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int x^{- 5} d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 5}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - \frac{1}{4} x^{- 4} + C$

Etapa 10

Simplifique.

$- \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 x^{3}} - \frac{1}{4} x^{- 4} + C$