Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{\infty} \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 2.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 2.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 2.4.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 2.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 3

Deixe $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . Depois, $d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , então, $1 d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 3.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 3.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 3.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 3.1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 3.1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 3.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 3.1.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3.1.10

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = - 1^{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Etapa 3.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = - t^{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - t^{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 2 e^{u} d u$

Etapa 4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{u} d u$

Etapa 5

Como $- 2$ é constante com relação a $u$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$lim_{t \to \infty} - 2 \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} e^{u} d u$

Etapa 6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 (e^{u}]_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7

Avalie $e^{u}$ em $- t^{\frac{1}{2}}$ e em $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 (e^{- t^{\frac{1}{2}}} - e^{- 1})$

Etapa 8

Avalie o limite.

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Etapa 8.1

Avalie o limite.

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Etapa 8.1.1

Mova o termo $- 2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} e^{- t^{\frac{1}{2}}} - e^{- 1}$

Etapa 8.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- 2 (lim_{t \to \infty} e^{- t^{\frac{1}{2}}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1})$

Etapa 8.2

Como o expoente $- t^{\frac{1}{2}}$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{- t^{\frac{1}{2}}}$ se aproxima de $0$ .

$- 2 (0 - lim_{t \to \infty} e^{- 1})$

Etapa 8.3

Avalie o limite.

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Etapa 8.3.1

Avalie o limite de $e^{- 1}$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- 2 (0 - e^{- 1})$

Etapa 8.3.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.3.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (0 - \frac{1}{e})$

Etapa 8.3.2.2

Subtraia $\frac{1}{e}$ de $0$ .

$- 2 (- \frac{1}{e})$

Etapa 8.3.2.3

Multiplique $- 2 (- \frac{1}{e})$ .

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Etapa 8.3.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 \frac{1}{e}$

Etapa 8.3.2.3.2

Combine $2$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2}{e}$

Forma decimal:

$0.73575888 \dots$