Cálculo Exemplos

$y'''' + y'''''''' = 6 e^{2 x}$ , $y = e^{2 x}$

Etapa 1

Encontre $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

Etapa 1.2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 1.3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Etapa 1.3.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Etapa 1.3.2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 2 e^{2 x}$

Etapa 2

Encontre $y''$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine a derivada.

$y'' = \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Etapa 2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{2 x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'' = 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$y'' = 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y'' = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.4

Remova os parênteses.

$y'' = 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 2 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \cdot 1$

Etapa 2.8

Multiplique $4$ por $1$ .

$y'' = 4 e^{2 x}$

Etapa 3

Encontre $y'''$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Determine a derivada.

$y''' = \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Etapa 3.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 e^{2 x}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y''' = 4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$y''' = 4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y''' = 4 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$y''' = 4 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.4

Remova os parênteses.

$y''' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 3.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''' = 4 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.6

Multiplique $2$ por $4$ .

$y''' = 8 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y''' = 8 e^{2 x} \cdot 1$

Etapa 3.8

Multiplique $8$ por $1$ .

$y''' = 8 e^{2 x}$

Etapa 4

Encontre $y''''$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine a derivada.

$y'''' = \frac{d}{d x} [8 e^{2 x}]$

Etapa 4.2

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 e^{2 x}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'''' = 8 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$y'''' = 8 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y'''' = 8 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$y'''' = 8 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4.4

Remova os parênteses.

$y'''' = 8 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 4.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'''' = 8 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.6

Multiplique $2$ por $8$ .

$y'''' = 16 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y'''' = 16 e^{2 x} \cdot 1$

Etapa 4.8

Multiplique $16$ por $1$ .

$y'''' = 16 e^{2 x}$

Etapa 5

Encontre $y'''''$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Determine a derivada.

$y''''' = \frac{d}{d x} [16 e^{2 x}]$

Etapa 5.2

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 e^{2 x}$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y''''' = 16 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$y''''' = 16 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 5.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y''''' = 16 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 5.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$y''''' = 16 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 5.4

Remova os parênteses.

$y''''' = 16 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 5.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''''' = 16 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.6

Multiplique $2$ por $16$ .

$y''''' = 32 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y''''' = 32 e^{2 x} \cdot 1$

Etapa 5.8

Multiplique $32$ por $1$ .

$y''''' = 32 e^{2 x}$

Etapa 6

Encontre $y''''''$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Determine a derivada.

$y'''''' = \frac{d}{d x} [32 e^{2 x}]$

Etapa 6.2

Como $32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $32 e^{2 x}$ em relação a $x$ é $32 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'''''' = 32 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 6.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$y'''''' = 32 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 6.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y'''''' = 32 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 6.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$y'''''' = 32 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 6.4

Remova os parênteses.

$y'''''' = 32 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 6.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'''''' = 32 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6.6

Multiplique $2$ por $32$ .

$y'''''' = 64 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y'''''' = 64 e^{2 x} \cdot 1$

Etapa 6.8

Multiplique $64$ por $1$ .

$y'''''' = 64 e^{2 x}$

Etapa 7

Encontre $y'''''''$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Determine a derivada.

$y''''''' = \frac{d}{d x} [64 e^{2 x}]$

Etapa 7.2

Como $64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $64 e^{2 x}$ em relação a $x$ é $64 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y''''''' = 64 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 7.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$y''''''' = 64 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 7.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y''''''' = 64 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 7.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$y''''''' = 64 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 7.4

Remova os parênteses.

$y''''''' = 64 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 7.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''''''' = 64 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.6

Multiplique $2$ por $64$ .

$y''''''' = 128 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y''''''' = 128 e^{2 x} \cdot 1$

Etapa 7.8

Multiplique $128$ por $1$ .

$y''''''' = 128 e^{2 x}$

Etapa 8

Encontre $y''''''''$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Determine a derivada.

$y'''''''' = \frac{d}{d x} [128 e^{2 x}]$

Etapa 8.2

Como $128$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $128 e^{2 x}$ em relação a $x$ é $128 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'''''''' = 128 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 8.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$y'''''''' = 128 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y'''''''' = 128 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 8.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$y'''''''' = 128 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 8.4

Remova os parênteses.

$y'''''''' = 128 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 8.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'''''''' = 128 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8.6

Multiplique $2$ por $128$ .

$y'''''''' = 256 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y'''''''' = 256 e^{2 x} \cdot 1$

Etapa 8.8

Multiplique $256$ por $1$ .

$y'''''''' = 256 e^{2 x}$

Etapa 9

Substitua na equação diferencial determinada.

$16 e^{2 x} + 256 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Etapa 10

Some $16 e^{2 x}$ e $256 e^{2 x}$ .

$272 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Etapa 11

A solução determinada não satisfaz a equação diferencial fornecida.

$y = e^{2 x}$ não é uma solução para $y'''' + y'''''''' = 6 e^{2 x}$