Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{7 e^{x} - 7 e^{x + h}}{4 h}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{7 e^{x} - 7 e^{x + h}}{h}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 7 e^{x} - 7 e^{x + h}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 7 e^{x} - lim_{h \to 0} 7 e^{x + h}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.1.2

Avalie o limite de $7 e^{x}$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7 e^{x} - lim_{h \to 0} 7 e^{x + h}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.1.3

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7 e^{x} - 7 lim_{h \to 0} e^{x + h}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.1.4

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7 e^{x} - 7 e^{lim_{h \to 0} x + h}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.1.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7 e^{x} - 7 e^{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.1.6

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7 e^{x} - 7 e^{x + lim_{h \to 0} h}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7 e^{x} - 7 e^{x + 0}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.3

Combine os termos opostos em $7 e^{x} - 7 e^{x + 0}$ .

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Etapa 2.1.2.3.1

Some $x$ e $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7 e^{x} - 7 e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.3.2

Subtraia $7 e^{x}$ de $7 e^{x}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{7 e^{x} - 7 e^{x + h}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [7 e^{x} - 7 e^{x + h}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [7 e^{x} - 7 e^{x + h}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 e^{x} - 7 e^{x + h}$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [7 e^{x}] + \frac{d}{d h} [- 7 e^{x + h}]$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [7 e^{x}] + \frac{d}{d h} [- 7 e^{x + h}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.3

Como $7 e^{x}$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $7 e^{x}$ em relação a $h$ é $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- 7 e^{x + h}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d h} [- 7 e^{x + h}]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Como $- 7$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- 7 e^{x + h}$ em relação a $h$ é $- 7 \frac{d}{d h} [e^{x + h}]$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{0 - 7 \frac{d}{d h} [e^{x + h}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ é $f' (g (h)) g' (h)$ , em que $f (h) = e^{h}$ e $g (h) = x + h$ .

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Etapa 2.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + h$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{0 - 7 \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d h} [x + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{0 - 7 e^{u} \frac{d}{d h} [x + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + h$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{0 - 7 e^{x + h} \frac{d}{d h} [x + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{0 - 7 e^{x + h} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.4

Como $x$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $x$ em relação a $h$ é $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{0 - 7 e^{x + h} (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{0 - 7 e^{x + h} (0 + 1)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.6

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{0 - 7 e^{x + h} \cdot 1}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.7

Multiplique $e^{x + h}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{0 - 7 e^{x + h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.5

Subtraia $7 e^{x + h}$ de $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{- 7 e^{x + h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{- 7 e^{x + h}}{1}$

Etapa 2.4

Divida $- 7 e^{x + h}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} - 7 e^{x + h}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $- 7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 7 lim_{h \to 0} e^{x + h}$

Etapa 3.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1}{4} \cdot - 7 e^{lim_{h \to 0} x + h}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 7 e^{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 7 e^{x + lim_{h \to 0} h}$

Etapa 4

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 7 e^{x + 0}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $- 7$ .

$\frac{- 7}{4} e^{x + 0}$

Etapa 5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{7}{4} e^{x + 0}$

Etapa 5.3

Some $x$ e $0$ .

$- \frac{7}{4} e^{x}$

Etapa 5.4

Combine $e^{x}$ e $\frac{7}{4}$ .

$- \frac{e^{x} \cdot 7}{4}$

Etapa 5.5

Mova $7$ para a esquerda de $e^{x}$ .

$- \frac{7 e^{x}}{4}$