Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} - 5}{2^{x} + 7}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x} - 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x} - lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Etapa 1.1.2.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $2^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Etapa 1.1.2.3

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.3.1

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Etapa 1.1.2.3.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{\infty - 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Etapa 1.1.2.3.2.2

Infinito mais ou menos um número é infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + lim_{x \to \infty} 7}$

Etapa 1.1.3.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $2^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 7}$

Etapa 1.1.3.3

Avalie o limite de $7$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + 7}$

Etapa 1.1.3.4

Infinito mais ou menos um número é infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.1.3.5

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} - 5}{2^{x} + 7} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x} - 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x} - 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2^{x} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2) + 0}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Etapa 1.3.5

Some $2^{x} \ln (2)$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2^{x} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [7]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [7]}$

Etapa 1.3.8

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2) + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $2^{x} \ln (2)$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2)}$

Etapa 1.4

Reduza.

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum de $2^{x}$ .

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Etapa 1.4.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2)}$

Etapa 1.4.1.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

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Etapa 1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

Etapa 1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} 1$

Etapa 2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$1$