Cálculo Exemplos

$\frac{d}{d x} {(1 + \frac{8}{x})}^{x}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(1 + \frac{8}{x})}^{x}$ como $e^{\ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{x})}]$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x \ln (1 + \frac{8}{x})$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x \ln (1 + \frac{8}{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{8}{x})]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{8}{x})]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x \ln (1 + \frac{8}{x})$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{8}{x})]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (1 + \frac{8}{x})$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (x \frac{d}{d x} [\ln (1 + \frac{8}{x})] + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + \frac{8}{x}$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $1 + \frac{8}{x}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + \frac{8}{x}]) + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{8}{x}]) + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 + \frac{8}{x}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (x (\frac{1}{1 + \frac{8}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{8}{x}]) + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{1 + \frac{8}{x}}$ e $x$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{8}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{8}{x}] + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \frac{8}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{8}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]) + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{8}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]) + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{8}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}] + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.5

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{8}{x}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{8}{x}} (8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.6

Combine frações.

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Etapa 5.6.1

Combine $8$ e $\frac{x}{1 + \frac{8}{x}}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (\frac{8 x}{1 + \frac{8}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.6.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (\frac{8 x}{1 + \frac{8}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (\frac{8 x}{1 + \frac{8}{x}} (- x^{- 2}) + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.8

Combine $\frac{8 x}{1 + \frac{8}{x}}$ e $x^{- 2}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- \frac{8 x \cdot x^{- 2}}{1 + \frac{8}{x}} + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6

Multiplique $x$ por $x^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1

Mova $x^{- 2}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- \frac{8 (x^{- 2} x)}{1 + \frac{8}{x}} + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6.2

Multiplique $x^{- 2}$ por $x$ .

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Etapa 6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- \frac{8 (x^{- 2} x^{1})}{1 + \frac{8}{x}} + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- \frac{8 x^{- 2 + 1}}{1 + \frac{8}{x}} + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6.3

Some $- 2$ e $1$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- \frac{8 x^{- 1}}{1 + \frac{8}{x}} + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7

Mova $x^{- 1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- \frac{8}{(1 + \frac{8}{x}) x} + \ln (1 + \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- \frac{8}{(1 + \frac{8}{x}) x} + \ln (1 + \frac{8}{x}) \cdot 1)$

Etapa 9

Multiplique $\ln (1 + \frac{8}{x})$ por $1$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- \frac{8}{(1 + \frac{8}{x}) x} + \ln (1 + \frac{8}{x}))$

Etapa 10

Para escrever $\ln (1 + \frac{8}{x})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(1 + \frac{8}{x}) x}{(1 + \frac{8}{x}) x}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- \frac{8}{(1 + \frac{8}{x}) x} + \ln (1 + \frac{8}{x}) \cdot \frac{(1 + \frac{8}{x}) x}{(1 + \frac{8}{x}) x})$

Etapa 11

Combine $\ln (1 + \frac{8}{x})$ e $\frac{(1 + \frac{8}{x}) x}{(1 + \frac{8}{x}) x}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- \frac{8}{(1 + \frac{8}{x}) x} + \frac{\ln (1 + \frac{8}{x}) ((1 + \frac{8}{x}) x)}{(1 + \frac{8}{x}) x})$

Etapa 12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \frac{- 8 + \ln (1 + \frac{8}{x}) ((1 + \frac{8}{x}) x)}{(1 + \frac{8}{x}) x}$

Etapa 13

Combine $e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})}$ e $\frac{- 8 + \ln (1 + \frac{8}{x}) ((1 + \frac{8}{x}) x)}{(1 + \frac{8}{x}) x}$ .

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- 8 + \ln (1 + \frac{8}{x}) ((1 + \frac{8}{x}) x))}{(1 + \frac{8}{x}) x}$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- 8 + \ln (1 + \frac{8}{x}) (1 x + \frac{8}{x} x))}{(1 + \frac{8}{x}) x}$

Etapa 14.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- 8 + \ln (1 + \frac{8}{x}) (1 x + \frac{8}{x} x))}{1 x + \frac{8}{x} x}$

Etapa 14.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.3.1.1.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- 8 + \ln (1 + \frac{8}{x}) (x + \frac{8}{x} x))}{1 x + \frac{8}{x} x}$

Etapa 14.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 14.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- 8 + \ln (1 + \frac{8}{x}) (x + \frac{8}{x} x))}{1 x + \frac{8}{x} x}$

Etapa 14.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- 8 + \ln (1 + \frac{8}{x}) (x + 8))}{1 x + \frac{8}{x} x}$

Etapa 14.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- 8 + \ln (1 + \frac{8}{x}) x + \ln (1 + \frac{8}{x}) \cdot 8)}{1 x + \frac{8}{x} x}$

Etapa 14.3.1.3

Multiplique $\ln (1 + \frac{8}{x}) \cdot 8$ .

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Etapa 14.3.1.3.1

Reordene $\ln (1 + \frac{8}{x})$ e $8$ .

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- 8 + \ln (1 + \frac{8}{x}) x + 8 \cdot \ln (1 + \frac{8}{x}))}{1 x + \frac{8}{x} x}$

Etapa 14.3.1.3.2

Simplifique $8 \cdot \ln (1 + \frac{8}{x})$ movendo $8$ para dentro do logaritmo.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (- 8 + \ln (1 + \frac{8}{x}) x + \ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{8}))}{1 x + \frac{8}{x} x}$

Etapa 14.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \cdot - 8 + e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (\ln (1 + \frac{8}{x}) x) + e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{8})}{1 x + \frac{8}{x} x}$

Etapa 14.3.3

Mova $- 8$ para a esquerda de $e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})}$ .

$\frac{- 8 \cdot e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} + e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (\ln (1 + \frac{8}{x}) x) + e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{8})}{1 x + \frac{8}{x} x}$

Etapa 14.3.4

Reordene os fatores em $- 8 e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} + e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} (\ln (1 + \frac{8}{x}) x) + e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{8})$ .

$\frac{- 8 e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln (1 + \frac{8}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{8})}{1 x + \frac{8}{x} x}$

Etapa 14.4

Combine os termos.

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Etapa 14.4.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{- 8 e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln (1 + \frac{8}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{8})}{x + \frac{8}{x} x}$

Etapa 14.4.2

Combine $\frac{8}{x}$ e $x$ .

$\frac{- 8 e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln (1 + \frac{8}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{8})}{x + \frac{8 x}{x}}$

Etapa 14.4.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 14.4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 8 e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln (1 + \frac{8}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{8})}{x + \frac{8 x}{x}}$

Etapa 14.4.3.2

Divida $8$ por $1$ .

$\frac{- 8 e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln (1 + \frac{8}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{8})}{x + 8}$

Etapa 14.5

Reordene os termos.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} x \ln (1 + \frac{8}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})} \ln ({(1 + \frac{8}{x})}^{8}) - 8 e^{x \ln (1 + \frac{8}{x})}}{x + 8}$