Cálculo Exemplos

$\frac{x y}{x + y}$

Etapa 1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{x y}{x + y}$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [\frac{y}{x + y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{y}{x + y}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = x + y$ .

$x \frac{(x + y) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x \frac{(x + y) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $x + y$ por $1$ .

$x \frac{x + y - y \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{x + y - y (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$x \frac{x + y - y (0 + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{x + y - y \frac{d}{d y} [y]}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x \frac{x + y - y \cdot 1}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7

Simplifique os termos.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x \frac{x + y - y}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.2

Subtraia $y$ de $y$ .

$x \frac{x + 0}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.3

Some $x$ e $0$ .

$x \frac{x}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.4

Combine $x$ e $\frac{x}{{(x + y)}^{2}}$ .

$\frac{x \cdot x}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{1} x}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1}}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 1}}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x + y)}^{2}}$