Cálculo Exemplos

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x) - \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) + \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 8

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - - \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 9

Multiplique.

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Etapa 9.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + 1 \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 9.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.1

Expanda $(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 10.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) - \cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 10.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.2.1.2

Multiplique $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 10.2.1.2.1.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.2.1.2.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.2.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sin (x) \cos (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.2.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.2.1.3

Multiplique $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 10.2.1.2.1.3.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.2.1.3.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.2.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.2.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.2.1.4

Multiplique $- \cos (x) (- \sin (x))$ .

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Etapa 10.2.1.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.2.1.4.2

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.2.2

Reordene os fatores de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.2.3

Some $\cos (x) \sin (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.3

Fatore $- 1$ de $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.4

Fatore $- 1$ de $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.5

Fatore $- 1$ de $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.7.1

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x)) - 1 \cdot 1 + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.7.2

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$\frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.7.3

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\frac{\sin (2 x) - 1 \cdot 1 + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.7.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.8

Expanda $(- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 10.2.1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) (\cos (x) + \sin (x)) - \cos (x) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos (x) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 10.2.1.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.9.1.1

Multiplique $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 10.2.1.9.1.1.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.9.1.1.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.9.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.9.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.9.1.2

Multiplique $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 10.2.1.9.1.2.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.9.1.2.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.9.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.9.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.9.2

Reordene os fatores de $- \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.9.3

Subtraia $\cos (x) \sin (x)$ de $- \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.10

Fatore $- 1$ de $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.11

Fatore $- 1$ de $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.12

Fatore $- 1$ de $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.13

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot 1}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.1.14

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - 1}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.2.2

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.3

Reordene os termos.

$\frac{- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 + \sin (2 x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.4

Fatore $- 1$ de $- 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x)) - 2 + \sin (2 x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.5

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x)) - 1 (2) + \sin (2 x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.6

Fatore $- 1$ de $- (2 \cos (x) \sin (x)) - 1 (2)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) + 2) + \sin (2 x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.7

Fatore $- 1$ de $\sin (2 x)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) + 2) - 1 (- \sin (2 x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.8

Fatore $- 1$ de $- (2 \cos (x) \sin (x) + 2) - 1 (- \sin (2 x))$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) + 2 - \sin (2 x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.9

Reescreva $- (2 \cos (x) \sin (x) + 2 - \sin (2 x))$ como $- 1 (2 \cos (x) \sin (x) + 2 - \sin (2 x))$ .

$\frac{- 1 (2 \cos (x) \sin (x) + 2 - \sin (2 x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 \cos (x) \sin (x) + 2 - \sin (2 x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$