Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{x \ln (x) \ln (\ln (x))} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = \ln (x)$ . Depois, $d u_{1} = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \ln (u_{1})} d u_{1}$

Etapa 2

Deixe $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , então, $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 3

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 4

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 4.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\ln (u_{1})$ .

$\ln (| \ln (u_{1}) |) + C$

Etapa 4.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\ln (x)$ .

$\ln (| \ln (\ln (x)) |) + C$