Cálculo Exemplos

$x^{2} (e^{x} - 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x} - 1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1] + (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} (e^{x} + 0) + (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.2

Some $e^{x}$ e $0$ .

$x^{2} e^{x} + (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + (e^{x} - 1) (2 x)$

Etapa 4.4

Mova $2$ para a esquerda de $e^{x} - 1$ .

$x^{2} e^{x} + 2 \cdot (e^{x} - 1) x$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} e^{x} + (2 e^{x} + 2 \cdot - 1) x$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x + 2 \cdot - 1 x$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x - 2 x$

Etapa 5.4

Reordene os termos.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 2 x$

Etapa 5.5

Reordene os fatores em $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 2 x$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 x$