Cálculo Exemplos

$\int_{- \infty}^{0} e^{2 x} d x$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} e^{2 x} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 t$

Etapa 2.3

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 2.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2 t$

$u_{upper} = 0$

Etapa 2.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$lim_{t \to - \infty} \int_{2 t}^{0} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 3

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{2 t}^{0} \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{2} \int_{2 t}^{0} e^{u} d u$

Etapa 5

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{2} e^{u}]_{2 t}^{0}$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{u}]_{2 t}^{0}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{e^{u}]_{2 t}^{0}}{2}$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $e^{u}$ em $0$ e em $2 t$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{(e^{0}) - e^{2 t}}{2}$

Etapa 7.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{1 - e^{2 t}}{2}$

Etapa 8

Avalie o limite.

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Etapa 8.1

Avalie o limite.

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Etapa 8.1.1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} 1 - e^{2 t}$

Etapa 8.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} 1 - lim_{t \to - \infty} e^{2 t})$

Etapa 8.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{1}{2} (1 - lim_{t \to - \infty} e^{2 t})$

Etapa 8.2

Como o expoente $2 t$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{2 t}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} (1 - 0)$

Etapa 8.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.3.1

Subtraia $0$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 8.3.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$