Cálculo Exemplos

$\frac{2 d y}{3 d x} = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{2}{3} \frac{d y}{d x} = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 1.2

Reescreva a equação.

$\frac{2}{3} d y = {(x - 2)}^{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{2}{3} d y = \int {(x - 2)}^{2} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \int {(x - 2)}^{2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = x - 2$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = x - 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.3.1.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \int u^{2} d u$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 2$ .

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{2}{3} y = \frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y)$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $y$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.3.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$\frac{1}{2} (2 (y)) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.3.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $\frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x - 2)}^{3}$ .

$y = \frac{3}{2} (\frac{{(x - 2)}^{3}}{3} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Para escrever $K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{3}{2} (\frac{{(x - 2)}^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 3.2.2.1.3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.2.1.3.1

Combine $K$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{3}{2} (\frac{{(x - 2)}^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3})$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 2)}^{3} + K \cdot 3}{3}$

Etapa 3.2.2.1.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.2.1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 2)}^{3} + K \cdot 3}{3}$

Etapa 3.2.2.1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{1}{2} ({(x - 2)}^{3} + K \cdot 3)$

Etapa 3.2.2.1.4

Mova $3$ para a esquerda de $K$ .

$y = \frac{1}{2} ({(x - 2)}^{3} + 3 K)$

Etapa 3.2.2.1.5

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.2.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{3} + \frac{1}{2} (3 K)$

Etapa 3.2.2.1.5.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x - 2)}^{3}$ .

$y = \frac{{(x - 2)}^{3}}{2} + \frac{1}{2} (3 K)$

Etapa 3.2.2.1.6

Multiplique $\frac{1}{2} (3 K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.6.1

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{{(x - 2)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} K$

Etapa 3.2.2.1.6.2

Combine $\frac{3}{2}$ e $K$ .

$y = \frac{{(x - 2)}^{3}}{2} + \frac{3 K}{2}$

Etapa 3.2.2.1.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{{(x - 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Use o teorema binomial.

$y = \frac{x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Etapa 3.3.2.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Etapa 3.3.2.4

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 + 3 K}{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + K}{2}$