Cálculo Exemplos

$y = {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

Etapa 1

Mantenha $y = f (x)$ , calcule o logaritmo natural dos dois lados $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$

Etapa 2

Expanda $\ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$ movendo $\ln (x)$ para fora do logaritmo.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (\ln (x))$

Etapa 3

Diferencie a expressão usando a regra da cadeia, lembrando que $y$ é uma função de $x$ .

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Etapa 3.1

Diferencie o lado esquerdo $\ln (y)$ usando a regra da cadeia.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \ln (\ln (x))$

Etapa 3.2

Diferencie o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Diferencie $\ln (x) \ln (\ln (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\ln (x))]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \ln (\ln (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Etapa 3.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.4

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.4.1

Combine $\frac{1}{\ln (x)}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.4.2

Cancele o fator comum de $\ln (x)$ .

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Etapa 3.2.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.4.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y'}{y} = 1 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.4.3

Multiplique $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.5

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.6

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{1}{x}$

Etapa 3.2.7

Combine $\ln (\ln (x))$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x}$

Etapa 4

Isole $y'$ e substitua a função original por $y$ no lado direito.

$y' = (\frac{1}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x}) {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = \frac{1}{x} {\ln (x)}^{\ln (x)} + \frac{\ln (\ln (x))}{x} {\ln (x)}^{\ln (x)}$

Etapa 5.2

Combine $\frac{1}{x}$ e ${\ln (x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x} {\ln (x)}^{\ln (x)}$

Etapa 5.3

Combine $\frac{\ln (\ln (x))}{x}$ e ${\ln (x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{\ln (\ln (x)) {\ln (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Etapa 5.4

Reordene os fatores em $\frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{\ln (\ln (x)) {\ln (x)}^{\ln (x)}}{x}$ .

$y' = \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)} \ln (\ln (x))}{x}$