Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 36}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = 6 \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 6 \sec^{2} (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $6 \sec^{2} (t)$ é positivo.

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{{(6 \tan (t))}^{2} + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{{(6 \tan (t))}^{2} + 36}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $6 \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{6^{2} \tan^{2} (t) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.1.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 \tan^{2} (t) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $36$ de $36 \tan^{2} (t) + 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $36$ de $36 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 (\tan^{2} (t)) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $36$ de $36$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 (\tan^{2} (t)) + 36 (1)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $36$ de $36 (\tan^{2} (t)) + 36 (1)$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 (\tan^{2} (t) + 1)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 \sec^{2} (t)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.4

Reescreva $36 \sec^{2} (t)$ como ${(6 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{{(6 \sec (t))}^{2}}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{1}{6 \tan (t) (6 \sec (t))} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Multiplique $6$ por $6$ .

$\int \frac{1}{36 \tan (t) \sec (t)} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.2.2

Combine $6$ e $\frac{1}{36 \tan (t) \sec (t)}$ .

$\int \frac{6}{36 \tan (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.2.3

Combine $\frac{6}{36 \tan (t) \sec (t)}$ e $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{36 \tan (t) \sec (t)} d t$

Etapa 2.2.4

Cancele o fator comum de $6$ e $36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Fatore $6$ de $6 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{6 (\sec^{2} (t))}{36 \tan (t) \sec (t)} d t$

Etapa 2.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1

Fatore $6$ de $36 \tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{6 (\sec^{2} (t))}{6 (6 \tan (t) \sec (t))} d t$

Etapa 2.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{6 (6 \tan (t) \sec (t))} d t$

Etapa 2.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{6 \tan (t) \sec (t)} d t$

Etapa 2.2.5

Cancele o fator comum de $\sec^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Fatore $\sec (t)$ de $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{6 \tan (t) \sec (t)} d t$

Etapa 2.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.1

Fatore $\sec (t)$ de $6 \tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) (6 \tan (t))} d t$

Etapa 2.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) (6 \tan (t))} d t$

Etapa 2.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{\sec (t)}{6 \tan (t)} d t$

Etapa 3

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} \int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva $\tan (t)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{6} \int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Etapa 4.2

Reescreva $\sec (t)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{6} \int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Etapa 4.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $\cos (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Etapa 4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Etapa 4.5

Converta de $\frac{1}{\sin (t)}$ em $\csc (t)$ .

$\frac{1}{6} \int \csc (t) d t$

Etapa 5

A integral de $\csc (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Etapa 6

Simplifique.

$\frac{1}{6} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arctan (\frac{x}{6})$ .

$\frac{1}{6} \ln (| \csc (\arctan (\frac{x}{6})) - \cot (\arctan (\frac{x}{6})) |) + C$

Etapa 8

Reordene os termos.

$\frac{1}{6} \ln (| \csc (\arctan (\frac{1}{6} x)) - \cot (\arctan (\frac{1}{6} x)) |) + C$