Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x + x^{2}} - 1}{x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x + x^{2}} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x + x^{2}} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x + x^{2}} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x^{2}} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x^{2}} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.7

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0 + 0^{2}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.8.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0 + 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.8.1.2

Some $1 + 0$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.8.1.3

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.8.1.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.8.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.8.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x + x^{2}} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x + x^{2}} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x + x^{2}} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{1 + x + x^{2}} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x + x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x + x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x + x^{2}}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x + x^{2}}$ como ${(1 + x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 + x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + x + x^{2}$ .

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Etapa 1.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + x + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x + x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x + x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x + x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1 + 2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1 + 2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1 + 2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1 + 2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1 + 2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1 + 2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1 + 2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.12

Some $0$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (1 + 2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.13

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 + x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(1 + x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (1 + 2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.14

Mova ${(1 + x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 2 x) + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.5

Simplifique.

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Etapa 1.3.5.1

Some $\frac{1}{2 {(1 + x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 2 x)$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.5.2

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 {(1 + x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{2 {(1 + x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.5.3

Multiplique $1 + 2 x$ por $\frac{1}{2 {(1 + x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 + 2 x}{2 {(1 + x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 + 2 x}{2 {(1 + x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 x}{2 {(1 + x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 1.5

Reescreva ${(1 + x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{1 + x + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{1 + x + x^{2}}} \cdot 1$

Etapa 1.6

Multiplique $\frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{1 + x + x^{2}}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{1 + x + x^{2}}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 x}{\sqrt{1 + x + x^{2}}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + 2 x}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x + x^{2}}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x + x^{2}}}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x + x^{2}}}$

Etapa 2.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x + x^{2}}}$

Etapa 2.6

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 2 lim_{x \to 0} x}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x + x^{2}}}$

Etapa 2.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 2 lim_{x \to 0} x}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Etapa 2.8

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 2 lim_{x \to 0} x}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Etapa 2.9

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 2 lim_{x \to 0} x}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 2 \cdot 0}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 2 \cdot 0}{\sqrt{1 + 0 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 2 \cdot 0}{\sqrt{1 + 0 + 0^{2}}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 0}{\sqrt{1 + 0 + 0^{2}}}$

Etapa 4.1.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0 + 0^{2}}}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0 + 0}}$

Etapa 4.2.2

Some $1 + 0$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Etapa 4.2.3

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

Etapa 4.2.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Etapa 4.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 4.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$