Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2 x - 1} - \frac{x^{2}}{2 x + 1}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{x^{2}}{2 x - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{x^{2}}{2 x + 1}$

Etapa 1.2

Para escrever $- \frac{x^{2}}{2 x + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{x^{2}}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(2 x - 1) (2 x + 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{x^{2}}{2 x - 1}$ por $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 x + 1)}{(2 x - 1) (2 x + 1)} - \frac{x^{2}}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{x^{2}}{2 x + 1}$ por $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 x + 1)}{(2 x - 1) (2 x + 1)} - \frac{x^{2} (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $(2 x - 1) (2 x + 1)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x^{2} (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{2} (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.3.1

Reordene $x^{2}$ e $2$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 2.1.2.3.2

Reordene $x^{2}$ e $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot x^{2} x + 1 \cdot x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 2.1.2.3.3

Mova $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot x^{2} x + 1 \cdot x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 2.1.2.3.4

Mova $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot x^{2} x + 1 \cdot x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 2.1.2.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 (x^{2} x^{1}) + 1 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 2.1.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2 + 1} + 1 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 2.1.2.6

Some $2$ e $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + 1 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 2.1.2.7

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 2.1.2.8

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 2.1.2.9

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 (x^{2} x^{1}) - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 2.1.2.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{2 + 1} - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 2.1.2.11

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.1.2.11.1

Some $2$ e $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{3} - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 2.1.2.11.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.11.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{3} + 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 2.1.2.11.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{3} + x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 2.1.2.11.2.3

Mova $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} - 2 x^{3} + x^{2} + x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 2.1.2.11.3

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 0 + x^{2} + x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 2.1.2.11.4

Some $0$ e $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 2.1.2.11.5

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 2.1.2.12

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}$

Etapa 2.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}$

Etapa 2.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.3.4.1

Mova $x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.3.4.2

Mova $x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.3.4.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.3.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 (x^{1} x) + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.3.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.1.3.8.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.3.8.2

Multiplique.

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Etapa 2.1.3.8.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.3.8.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.1.3.8.2.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.3.8.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x - 1}$

Etapa 2.1.3.8.3

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} + 0 - 1}$

Etapa 2.1.3.8.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 1}$

Etapa 2.1.3.9

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.1.3.10

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1)]$ .

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Etapa 2.3.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 \cdot 1 + 0) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 \cdot 1 + 0) + (2 x + 1) (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.3.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 + 0) + (2 x + 1) (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.3.8

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} \cdot 2 + (2 x + 1) (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.3.9

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot x^{2} + (2 x + 1) (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.3.10

Mova $2$ para a esquerda de $2 x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2} (2 x - 1)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2} (2 x - 1)]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - \frac{d}{d x} [x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.4.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.4.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 1) (2 x))}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.4.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (2 + 0) + (2 x - 1) (2 x))}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.4.9

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} \cdot 2 + (2 x - 1) (2 x))}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.4.10

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (2 \cdot x^{2} + (2 x - 1) (2 x))}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.4.11

Mova $2$ para a esquerda de $2 x - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (2 x^{2} + 2 (2 x - 1) x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + (2 (2 x) + 2 \cdot 1) x - (2 x^{2} + 2 (2 x - 1) x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2} + 2 (2 x - 1) x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2} + (2 (2 x) + 2 \cdot - 1) x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.5.6

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x \cdot x + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.5.6.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.5.6.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.5.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.5.6.5

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.5.6.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.5.6.7

Some $2 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.5.6.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.5.6.9

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (4 x \cdot x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.5.6.10

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (4 (x^{1} x)) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.5.6.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (4 (x^{1} x^{1})) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.5.6.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (4 x^{1 + 1}) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.5.6.13

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (4 x^{2}) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.5.6.14

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 4 x^{2} - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.5.6.15

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 4 x^{2} - (- 2 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.5.6.16

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 4 x^{2} + 2 x}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.5.6.17

Subtraia $4 x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 6 x^{2} + 2 x}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.5.6.18

Subtraia $6 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 0 + 2 x}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.5.6.19

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 x}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.5.6.20

Some $2 x$ e $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 2 x + 1$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

Etapa 2.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

Etapa 2.3.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

Etapa 2.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

Etapa 2.3.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

Etapa 2.3.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

Etapa 2.3.12

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

Etapa 2.3.13

Mova $2$ para a esquerda de $2 x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 \cdot (2 x + 1) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

Etapa 2.3.14

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Etapa 2.3.15

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Etapa 2.3.16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Etapa 2.3.17

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])}$

Etapa 2.3.18

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + 0)}$

Etapa 2.3.19

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) \cdot 2}$

Etapa 2.3.20

Mova $2$ para a esquerda de $2 x - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + 2 \cdot (2 x - 1)}$

Etapa 2.3.21

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (2 x - 1)}$

Etapa 2.3.21.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 1}$

Etapa 2.3.21.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{4 x + 2 \cdot 1 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 1}$

Etapa 2.3.21.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{4 x + 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 1}$

Etapa 2.3.21.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{4 x + 2 + 4 x + 2 \cdot - 1}$

Etapa 2.3.21.3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{4 x + 2 + 4 x - 2}$

Etapa 2.3.21.3.5

Some $4 x$ e $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{8 x + 2 - 2}$

Etapa 2.3.21.3.6

Subtraia $2$ de $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{8 x + 0}$

Etapa 2.3.21.3.7

Some $8 x$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{8 x}$

Etapa 2.4

Reduza.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1

Fatore $4$ de $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x)}{8 x}$

Etapa 2.4.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.2.1

Fatore $4$ de $8 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x)}{4 (2 x)}$

Etapa 2.4.1.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{4 (2 x)}$

Etapa 2.4.1.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 x}$

Etapa 2.4.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 x}$

Etapa 2.4.2.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2}$

Etapa 3

Avalie o limite de $\frac{1}{2}$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$