Cálculo Exemplos

$y = {(x^{2} + x + 1)}^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + x + 1$ .

$2 (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (x^{2} + x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x^{2} + x + 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (x^{2} + x + 1) (2 x + 1 + 0)$

Etapa 1.2.5

Some $2 x + 1$ e $0$ .

$2 (x^{2} + x + 1) (2 x + 1)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1) (2 x + 1)$

Etapa 1.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$(2 x^{2} + 2 x + 2) (2 x + 1)$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $(2 x^{2} + 2 x + 2) (2 x + 1)$ .

$(2 x + 1) (2 x^{2} + 2 x + 2)$

Etapa 1.3.4

Expanda $(2 x + 1) (2 x^{2} + 2 x + 2)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Etapa 1.3.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Etapa 1.3.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.5.2.1

Mova $x^{2}$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Etapa 1.3.5.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 1.3.5.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Etapa 1.3.5.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Etapa 1.3.5.2.3

Some $2$ e $1$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Etapa 1.3.5.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Etapa 1.3.5.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 x^{3} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Etapa 1.3.5.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.5.5.1

Mova $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Etapa 1.3.5.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Etapa 1.3.5.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Etapa 1.3.5.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Etapa 1.3.5.8

Multiplique $2 x^{2}$ por $1$ .

$4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Etapa 1.3.5.9

Multiplique $2 x$ por $1$ .

$4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} + 2 x + 1 \cdot 2$

Etapa 1.3.5.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} + 2 x + 2$

Etapa 1.3.6

Some $4 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 2 x + 2$

Etapa 1.3.7

Some $4 x$ e $2 x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 2$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$12 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 12 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 x^{2} + 12 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.4.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$12 x^{2} + 12 x + 6 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.5.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x^{2} + 12 x + 6 + 0$

Etapa 2.5.2

Some $12 x^{2} + 12 x + 6$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 12 x + 6$