Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}] + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x + 3$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 3$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 3$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.7

Combine frações.

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Etapa 1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.7.2

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.7.3

Mova ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.7.4

Combine $\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.10

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.11.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.11.2

Multiplique $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ por $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 1.13

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 1.14

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.16

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.16.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 1.16.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 1.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 1.18

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 1.19

Combine ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 1.20

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.21

Para escrever $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.22

Para escrever $\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.23

Escreva cada expressão com um denominador comum de $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.23.1

Multiplique $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.23.2

Multiplique $\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.23.3

Reordene os fatores de $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.24

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.25

Multiplique $x^{\frac{1}{3}}$ por $x^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.25.1

Mova $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.25.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.25.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x^{\frac{2 + 1}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.25.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.25.5

Divida $3$ por $3$ .

$\frac{2 x^{1} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.26

Simplifique $2 x^{1}$ .

$\frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.27

Multiplique ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.27.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.27.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.27.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{3}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.27.4

Divida $3$ por $3$ .

$\frac{2 x + {(x + 3)}^{1}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.28

Simplifique ${(x + 3)}^{1}$ .

$\frac{2 x + x + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.29

Some $2 x$ e $x$ .

$\frac{3 x + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.30

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{3 (x) + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.31

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (x) + 3 \cdot 1}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.32

Fatore $3$ de $3 (x) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (x + 1)}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.33

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.33.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 (x + 1)}{3 (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 1.33.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (x + 1)}{3 (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 1.33.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 1) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $x^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{\frac{1}{3}}) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x + 3$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 3$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 3$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.6

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.8.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.8.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.9

Combine frações.

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Etapa 2.9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.9.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (x^{\frac{2}{3}} (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.9.3

Mova ${(x + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.9.4

Combine $\frac{1}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.12

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.13

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.13.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.13.2

Multiplique $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.15

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.16

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.18

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.18.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.18.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.20

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.21

Combine ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.22

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.22.1

Mova $2$ para a esquerda de ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 \cdot ({(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.22.2

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.23

Para escrever $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.24

Para escrever $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.25

Escreva cada expressão com um denominador comum de $3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.25.1

Multiplique $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.25.2

Multiplique $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.25.3

Reordene os fatores de $3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.26

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} + 2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.27

Multiplique $x^{\frac{2}{3}}$ por $x^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.27.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + 2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.27.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{x^{\frac{2 + 1}{3}} + 2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.27.3

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{x^{\frac{3}{3}} + 2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.27.4

Divida $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{x + 2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.28

Simplifique $x^{1}$ .

Etapa 2.29

Multiplique ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.29.1

Mova ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{x + 2 ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.29.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{x + 2 {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.29.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{x + 2 {(x + 3)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.29.4

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{x + 2 {(x + 3)}^{\frac{3}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.29.5

Divida $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{x + 2 (x + 3)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.30

Simplifique $2 {(x + 3)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{x + 2 (x + 3)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31

Simplifique.

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Etapa 2.31.1

Aplique a regra do produto a $x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{x + 2 (x + 3)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{x + 2 (x + 3)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{x + 2 x + 2 \cdot 3}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.31.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.31.4.1.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{x + 2 x + 6}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.1.2

Some $x$ e $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{3 x + 6}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.1.3

Fatore $3$ de $3 x + 6$ .

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Etapa 2.31.4.1.3.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{3 (x) + 6}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.1.3.2

Fatore $3$ de $6$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{3 x + 3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.1.3.3

Fatore $3$ de $3 x + 3 \cdot 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{3 (x + 2)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} + (- x - 1) (\frac{3 (x + 2)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.3

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} + (- x - 1) (\frac{3 (x + 2)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.4

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} + (- x - 1) (\frac{x + 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.5

Multiplique $- x - 1$ por $\frac{x + 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{(- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.6

Para escrever $x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{(- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.7

Combine $x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}})}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{(- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}) + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9

Reescreva $\frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}) + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 2.31.4.9.1

Multiplique $x^{\frac{2}{3}}$ por $x^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.31.4.9.1.1

Mova $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1 + 2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.1.4

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{3}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.1.5

Divida $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.2

Simplifique $x^{1} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.3

Multiplique ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.31.4.9.3.1

Mova ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}) + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{x {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{x {(x + 3)}^{\frac{2 + 1}{3}} + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.3.4

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x {(x + 3)}^{\frac{3}{3}} + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.3.5

Divida $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (x + 3) + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.4

Simplifique $x {(x + 3)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (x + 3) + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.6

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + x \cdot 3 + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.7

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 3 \cdot x + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.8

Expanda $(- x - 1) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.31.4.9.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 3 x - x (x + 2) - 1 (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 3 x - x \cdot x - x \cdot 2 - 1 (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 3 x - x \cdot x - x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.31.4.9.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.31.4.9.9.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.31.4.9.9.1.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 3 x - (x \cdot x) - x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.9.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 3 x - x^{2} - x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.9.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 3 x - x^{2} - 2 x - 1 x - 1 \cdot 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.9.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 3 x - x^{2} - 2 x - x - 1 \cdot 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.9.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 3 x - x^{2} - 2 x - x - 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.9.2

Subtraia $x$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 3 x - x^{2} - 3 x - 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.10

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 x + 0 - 3 x - 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.11

Some $3 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 x - 3 x - 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.12

Subtraia $3 x$ de $3 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0 - 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.9.13

Subtraia $2$ de $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.4.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.5

Combine os termos.

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Etapa 2.31.5.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

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Etapa 2.31.5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.5.1.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

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Etapa 2.31.5.1.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{2 \cdot 2}{3}} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.5.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{4}{3}} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.31.5.2

Multiplique os expoentes em ${({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Etapa 2.31.5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{4}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Etapa 2.31.5.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{4}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.31.5.3

Reescreva $\frac{- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{4}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ como um produto.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.31.5.4

Multiplique $\frac{1}{x^{\frac{4}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{\frac{4}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 2.31.5.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.31.5.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{\frac{1 + 4}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.31.5.7

Some $1$ e $4$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{\frac{5}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.31.5.8

Multiplique ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.31.5.8.1

Mova ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{\frac{5}{3}} ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 2.31.5.8.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{\frac{5}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Etapa 2.31.5.8.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{\frac{5}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Etapa 2.31.5.8.4

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{\frac{5}{3}} {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}}) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x + 3$ .

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Etapa 4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.1.6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.1.7

Combine frações.

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Etapa 4.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.1.7.2

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.1.7.3

Mova ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.1.7.4

Combine $\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.1.10

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.1.11

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.11.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.1.11.2

Multiplique $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.1.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 4.1.13

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 4.1.14

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 4.1.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 4.1.16

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.16.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 4.1.16.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 4.1.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 4.1.18

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Etapa 4.1.19

Combine ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 4.1.20

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.21

Para escrever $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.22

Para escrever $\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.23

Escreva cada expressão com um denominador comum de $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1.23.1

Multiplique $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.23.2

Multiplique $\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.23.3

Reordene os fatores de $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.24

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.25

Multiplique $x^{\frac{1}{3}}$ por $x^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.25.1

Mova $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.25.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.25.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{2 + 1}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.25.4

Some $2$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{3}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.25.5

Divida $3$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.26

Simplifique $2 x^{1}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.27

Multiplique ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.27.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.27.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.27.3

Some $2$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{3}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.27.4

Divida $3$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{2 x + x + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.28

Simplifique ${(x + 3)}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + x + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.29

Some $2 x$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.30

Fatore $3$ de $3 x$ .

$f' (x) = \frac{3 (x) + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.31

Fatore $3$ de $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (x) + 3 \cdot 1}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.32

Fatore $3$ de $3 (x) + 3 (1)$ .

$f' (x) = \frac{3 (x + 1)}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.33

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.33.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (x + 1)}{3 (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 4.1.33.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{3 (x + 1)}{3 (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 4.1.33.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x + 1 = 0$

Etapa 5.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 6.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x^{2}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 6.1.2

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{{(x + 3)}^{1}}}$

Etapa 6.1.3

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{x + 3}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{x + 3}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{x + 3} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

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Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(\sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{x + 3})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{x + 3})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{x + 3})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $x^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{x + 3}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} {\sqrt[3]{x + 3}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} {\sqrt[3]{x + 3}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} {\sqrt[3]{x + 3}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} {\sqrt[3]{x + 3}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Reescreva ${\sqrt[3]{x + 3}}^{3}$ como $x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x + 3}$ como ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$x^{2} {(x + 3)}^{\frac{3}{3}} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} {(x + 3)}^{\frac{3}{3}} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} {(x + 3)}^{1} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2.5

Simplifique.

$x^{2} (x + 3) = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} x + x^{2} \cdot 3 = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.4.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.4.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 3 = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 3 = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.4.2

Some $2$ e $1$ .

$x^{3} + x^{2} \cdot 3 = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.5

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 x^{2} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x^{3} + 3 x^{2} = 0$

Etapa 6.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3} + 3 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$x^{2} x + 3 x^{2} = 0$

Etapa 6.3.3.1.2

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$x^{2} x + x^{2} \cdot 3 = 0$

Etapa 6.3.3.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$x^{2} (x + 3) = 0$

Etapa 6.3.3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 6.3.3.3

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.3.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 6.3.3.3.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.3.3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 6.3.3.3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 6.3.3.3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 6.3.3.3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.3.3.4

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.4.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 6.3.3.4.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 6.3.3.5

A solução final são todos os valores que tornam $x^{2} (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 3$

Etapa 6.4

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 3, x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 1, - 3, 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{2}{{(- 1)}^{\frac{5}{3}} {((- 1) + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$- \frac{2}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}} {(- 1 + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} {(- 1 + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} {(- 1 + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.3.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{2}{{(- 1)}^{5} {(- 1 + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$- \frac{2}{- 1 {(- 1 + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.5

Some $- 1$ e $3$ .

$- \frac{2}{- 1 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.2

Mova $2^{1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{- 1 \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot 2^{- 1}}$

Etapa 9.3

Multiplique $2^{\frac{4}{3}}$ por $2^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.3.1

Mova $2^{- 1}$ .

$- \frac{1}{- 1 \cdot (2^{- 1} \cdot 2^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 9.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{- 1 \cdot 2^{- 1 + \frac{4}{3}}}$

Etapa 9.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{- 1 \cdot 2^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}}}$

Etapa 9.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{- 1 \cdot 2^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}}}$

Etapa 9.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{- 1 \cdot 2^{\frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}}}$

Etapa 9.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- \frac{1}{- 1 \cdot 2^{\frac{- 3 + 4}{3}}}$

Etapa 9.3.6.2

Some $- 3$ e $4$ .

$- \frac{1}{- 1 \cdot 2^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 9.4

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{- 1 (- 1)}{- 1 \cdot 2^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 9.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 9.6

Multiplique $- - \frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}$ .

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Etapa 9.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 9.6.2

Multiplique $\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10

$x = - 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - 1$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = {(- 1)}^{\frac{1}{3}} {((- 1) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- 1) = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} {((- 1) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} {((- 1) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 11.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f (- 1) = {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} {((- 1) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f (- 1) = (- 1) {((- 1) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.3

Avalie o expoente.

$f (- 1) = - 1 {((- 1) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.4

Some $- 1$ e $3$ .

$f (- 1) = - 1 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.5

Reescreva $- 1 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$ como $- 2^{\frac{2}{3}}$ .

$f (- 1) = - 2^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.6

A resposta final é $- 2^{\frac{2}{3}}$ .

$y = - 2^{\frac{2}{3}}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{2}{{(- 3)}^{\frac{5}{3}} {((- 3) + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Some $- 3$ e $3$ .

$- \frac{2}{{(- 3)}^{\frac{5}{3}} \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.2

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$- \frac{2}{{(- 3)}^{\frac{5}{3}} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{{(- 3)}^{\frac{5}{3}} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 13.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{2}{{(- 3)}^{\frac{5}{3}} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 13.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{2}{{(- 3)}^{\frac{5}{3}} \cdot 0^{4}}$

Etapa 13.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 13.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{2}{{(- 3)}^{\frac{5}{3}} \cdot 0}$

Etapa 13.3.2

Multiplique ${(- 3)}^{\frac{5}{3}}$ por $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Etapa 13.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{2}{0}$

Etapa 13.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 14

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 14.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 14.2

Substitua qualquer número, como $- 6$ , do intervalo $(- \infty, - 3)$ na primeira derivada $\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 14.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f' (- 6) = \frac{(- 6) + 1}{{(- 6)}^{\frac{2}{3}} {((- 6) + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1

Some $- 6$ e $1$ .

$f' (- 6) = \frac{- 5}{{(- 6)}^{\frac{2}{3}} {(- 6 + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.2.2.2

Some $- 6$ e $3$ .

$f' (- 6) = \frac{- 5}{{(- 6)}^{\frac{2}{3}} {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 6) = - \frac{5}{{(- 6)}^{\frac{2}{3}} {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.2.2.4

A resposta final é $- \frac{5}{{(- 6)}^{\frac{2}{3}} {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{5}{{(- 6)}^{\frac{2}{3}} {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.3

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- 3, - 1)$ na primeira derivada $\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = \frac{(- 2) + 1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}} {((- 2) + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.1

Some $- 2$ e $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}} {(- 2 + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.3.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.2.1

Some $- 2$ e $3$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.3.2.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (- 2) = \frac{- 1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1}$

Etapa 14.3.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.3.1

Multiplique ${(- 2)}^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 14.3.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 2) = - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 14.3.2.4

A resposta final é $- \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 14.4

Substitua qualquer número, como $- 0.5$ , do intervalo $(- 1, 0)$ na primeira derivada $\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.5$ na expressão.

$f' (- 0.5) = \frac{(- 0.5) + 1}{{(- 0.5)}^{\frac{2}{3}} {((- 0.5) + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1

Some $- 0.5$ e $1$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5}{{(- 0.5)}^{\frac{2}{3}} {(- 0.5 + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.4.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.2.1

Some $- 0.5$ e $3$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5}{{(- 0.5)}^{\frac{2}{3}} \cdot {2.5}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.4.2.2.2

Eleve $2.5$ à potência de $\frac{1}{3}$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5}{{(- 0.5)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1.3572088}$

Etapa 14.4.2.3

Mova $1.3572088$ para a esquerda de ${(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5}{1.3572088 {(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 14.4.2.4

A resposta final é $\frac{0.5}{1.3572088 {(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{0.5}{1.3572088 {(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 14.5

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.5.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = \frac{(2) + 1}{{(2)}^{\frac{2}{3}} {((2) + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.5.2.1

Some $2$ e $1$ .

$f' (2) = \frac{3}{2^{\frac{2}{3}} {(2 + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.5.2.2

Some $2$ e $3$ .

$f' (2) = \frac{3}{2^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.5.2.3

A resposta final é $\frac{3}{2^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{3}{2^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = - 3$ , então $x = - 3$ é um máximo local.

$x = - 3$ é um máximo local

Etapa 14.7

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = - 1$ , então $x = - 1$ é um mínimo local.

$x = - 1$ é um mínimo local

Etapa 14.8

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 14.9

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = - 3$ é um máximo local

$x = - 1$ é um mínimo local

$x = - 3$ é um máximo local

$x = - 1$ é um mínimo local

Etapa 15