Cálculo Exemplos

$y = t \ln^{2} (4 t)$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$y = t \ln^{2} (4 t)$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t \ln^{2} (4 t))$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $t$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = \ln^{2} (4 t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (4 t)] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \ln (4 t)$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\ln (4 t)$ .

$t (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$t (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\ln (4 t)$ .

$t (2 \ln (4 t) \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = 4 t$ .

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Etapa 4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $4 t$ .

$t (2 \ln (4 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [4 t])) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.3.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$t (2 \ln (4 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [4 t])) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 t$ .

$t (2 \ln (4 t) (\frac{1}{4 t} \frac{d}{d t} [4 t])) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Combine $\frac{1}{4 t}$ e $2$ .

$t (\frac{2}{4 t} \ln (4 t) \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.4.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Combine $\frac{2}{4 t}$ e $\ln (4 t)$ .

$t (\frac{2 \ln (4 t)}{4 t} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \ln (4 t)$ .

$t (\frac{2 (\ln (4 t))}{4 t} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.4.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.2.2.1

Fatore $2$ de $4 t$ .

$t (\frac{2 (\ln (4 t))}{2 (2 t)} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.4.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$t (\frac{2 \ln (4 t)}{2 (2 t)} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.4.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$t (\frac{\ln (4 t)}{2 t} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.4.2.3

Combine $\frac{\ln (4 t)}{2 t}$ e $t$ .

$\frac{\ln (4 t) t}{2 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.4.2.4

Cancele o fator comum de $t$ .

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Etapa 4.4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (4 t) t}{2 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.4.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (4 t)}{2} \frac{d}{d t} [4 t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.4.3

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4 t$ em relação a $t$ é $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{\ln (4 t)}{2} (4 \frac{d}{d t} [t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.4.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.4.1

Combine $4$ e $\frac{\ln (4 t)}{2}$ .

$\frac{4 \ln (4 t)}{2} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.4.4.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.4.2.1

Fatore $2$ de $4 \ln (4 t)$ .

$\frac{2 (2 \ln (4 t))}{2} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.4.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.4.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 \ln (4 t))}{2 (1)} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.4.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 \ln (4 t))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.4.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \ln (4 t)}{1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.4.4.2.2.4

Divida $2 \ln (4 t)$ por $1$ .

$2 \ln (4 t) \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \ln (4 t) \cdot 1 + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.4.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 \ln (4 t) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \ln (4 t) + \ln^{2} (4 t) \cdot 1$

Etapa 4.4.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.8.1

Multiplique $\ln^{2} (4 t)$ por $1$ .

$2 \ln (4 t) + \ln^{2} (4 t)$

Etapa 4.4.8.2

Reordene os termos.

$\ln^{2} (4 t) + 2 \ln (4 t)$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \ln^{2} (4 t) + 2 \ln (4 t)$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \ln^{2} (4 t) + 2 \ln (4 t)$