Cálculo Exemplos

$\cos (y) + \sin (x) = 1$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\cos (y) + \sin (x)) = \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (y) + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.2.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$- \sin (y) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \sin (y) y' + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- \sin (y) y' + \cos (x)$

Etapa 3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- \sin (y) y' + \cos (x) = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $- \sin (y) y' + \cos (x)$ .

$- y' \sin (y) + \cos (x) = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $\cos (x)$ dos dois lados da equação.

$- y' \sin (y) = - \cos (x)$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $- y' \sin (y) = - \cos (x)$ por $- \sin (y)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- y' \sin (y) = - \cos (x)$ por $- \sin (y)$ .

$\frac{- y' \sin (y)}{- \sin (y)} = \frac{- \cos (x)}{- \sin (y)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (x)}{- \sin (y)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $\sin (y)$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (x)}{- \sin (y)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- \cos (x)}{- \sin (y)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (y)}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ como um produto.

$y' = \cos (x) \frac{1}{\sin (y)}$

Etapa 5.3.3.3

Escreva $\cos (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)}$

Etapa 5.3.3.4

Simplifique.

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Etapa 5.3.3.4.1

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$y' = \cos (x) \frac{1}{\sin (y)}$

Etapa 5.3.3.4.2

Converta de $\frac{1}{\sin (y)}$ em $\csc (y)$ .

$y' = \cos (x) \csc (y)$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos (x) \csc (y)$