Cálculo Exemplos

$y = \sin (θ + \tan (θ + \cos (θ)))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = \sin (θ)$ e $g (θ) = θ + \tan (θ + \cos (θ))$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $θ + \tan (θ + \cos (θ))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d θ} [θ + \tan (θ + \cos (θ))]$

Etapa 1.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d θ} [θ + \tan (θ + \cos (θ))]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $θ + \tan (θ + \cos (θ))$ .

$\cos (θ + \tan (θ + \cos (θ))) \frac{d}{d θ} [θ + \tan (θ + \cos (θ))]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $θ + \tan (θ + \cos (θ))$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\tan (θ + \cos (θ))]$ .

$\cos (θ + \tan (θ + \cos (θ))) (\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\tan (θ + \cos (θ))])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (θ + \tan (θ + \cos (θ))) (1 + \frac{d}{d θ} [\tan (θ + \cos (θ))])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = \tan (θ)$ e $g (θ) = θ + \cos (θ)$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $θ + \cos (θ)$ .

$\cos (θ + \tan (θ + \cos (θ))) (1 + \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d θ} [θ + \cos (θ)])$

Etapa 3.2

A derivada de $\tan (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\cos (θ + \tan (θ + \cos (θ))) (1 + \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d θ} [θ + \cos (θ)])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $θ + \cos (θ)$ .

$\cos (θ + \tan (θ + \cos (θ))) (1 + \sec^{2} (θ + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [θ + \cos (θ)])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $θ + \cos (θ)$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$\cos (θ + \tan (θ + \cos (θ))) (1 + \sec^{2} (θ + \cos (θ)) (\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]))$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (θ + \tan (θ + \cos (θ))) (1 + \sec^{2} (θ + \cos (θ)) (1 + \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]))$

Etapa 5

A derivada de $\cos (θ)$ em relação a $θ$ é $- \sin (θ)$ .

$\cos (θ + \tan (θ + \cos (θ))) (1 + \sec^{2} (θ + \cos (θ)) (1 - \sin (θ)))$