Cálculo Exemplos

$x = \frac{1}{3} \sqrt{y} (y - 3)$ , $1 \leq y \leq 9$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$

Etapa 2

Remova os parênteses.

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$

Etapa 3

Simplifique $\frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} y + \sqrt{y} \cdot - 3)$

Etapa 3.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $\sqrt{y}$ .

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} y - 3 \cdot \sqrt{y})$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{1}{3} (\sqrt{y} y) + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

Etapa 3.4

Multiplique $\frac{1}{3} (\sqrt{y} y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Combine $\sqrt{y}$ e $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{\sqrt{y}}{3} y + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

Etapa 3.4.2

Combine $\frac{\sqrt{y}}{3}$ e $y$ .

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Fatore $3$ de $- 3 \sqrt{y}$ .

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (3 (- \sqrt{y}))$

Etapa 3.5.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (3 (- \sqrt{y}))$

Etapa 3.5.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$

Etapa 4

Verifique se $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ é contínua.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para saber se a função é contínua em $[1, 9]$ ou não, encontre o domínio de $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Defina o radicando em $\sqrt{y}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$y \geq 0$

Etapa 4.1.2

O domínio consiste em todos os valores de $y$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | y \geq 0}$

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | y \geq 0}$

Etapa 4.2

$f (y)$ é contínuo em $[1, 9]$ .

A função é contínua.

Etapa 5

Verifique se $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ é diferenciável.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 5.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 5.1.1.2.2

Multiplique $y^{\frac{1}{2}}$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.2.2.1

Multiplique $y^{\frac{1}{2}}$ por $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.2.2.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 5.1.1.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + 1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 5.1.1.2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 5.1.1.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1 + 2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 5.1.1.2.2.4

Some $1$ e $2$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 5.1.1.2.3

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}$ em relação a $y$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 5.1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 5.1.1.2.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 5.1.1.2.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 5.1.1.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 5.1.1.2.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.2.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 5.1.1.2.8.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 5.1.1.2.9

Combine $\frac{3}{2}$ e $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 5.1.1.2.10

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 5.1.1.2.11

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 5.1.1.2.12

Fatore $3$ de $3 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 5.1.1.2.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.2.13.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 5.1.1.2.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 5.1.1.2.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 5.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 5.1.1.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y^{\frac{1}{2}}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 5.1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 5.1.1.3.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 5.1.1.3.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 5.1.1.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 5.1.1.3.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.3.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 5.1.1.3.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 5.1.1.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 5.1.1.3.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 5.1.1.3.10

Mova $y^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (y) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.2

A primeira derivada de $f (y)$ com relação a $y$ é $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2

Determine se a derivada é contínua em $[1, 9]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Para saber se a função é contínua em $[1, 9]$ ou não, encontre o domínio de $f' (y) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{\sqrt{y^{1}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2.1.1.2

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{\sqrt{y^{1}}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y^{1}}}$

Etapa 5.2.1.1.3

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{\sqrt{y}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y^{1}}}$

Etapa 5.2.1.1.4

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{\sqrt{y}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y}}$

Etapa 5.2.1.2

Defina o radicando em $\sqrt{y}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$y \geq 0$

Etapa 5.2.1.3

Defina o denominador em $\frac{1}{2 \sqrt{y}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 \sqrt{y} = 0$

Etapa 5.2.1.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{y})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 5.2.1.4.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 5.2.1.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.2.2.1

Simplifique ${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 5.2.1.4.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 5.2.1.4.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 5.2.1.4.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 5.2.1.4.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 y^{1} = 0^{2}$

Etapa 5.2.1.4.2.2.1.4

Simplifique.

$4 y = 0^{2}$

Etapa 5.2.1.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 y = 0$

Etapa 5.2.1.4.3

Divida cada termo em $4 y = 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.3.1

Divida cada termo em $4 y = 0$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 5.2.1.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 5.2.1.4.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{0}{4}$

Etapa 5.2.1.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.3.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$y = 0$

Etapa 5.2.1.5

O domínio consiste em todos os valores de $y$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | y > 0}$

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | y > 0}$

Etapa 5.2.2

$f' (y)$ é contínuo em $[1, 9]$ .

A função é contínua.

Etapa 5.3

A função é diferenciável em $[1, 9]$ , porque a derivada é contínua em $[1, 9]$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

Para garantir o comprimento do arco, a função e sua derivada devem ser contínuas no intervalo fechado $[1, 9]$ .

A função e sua derivada são contínuas no intervalo fechado $[1, 9]$ .

Etapa 7

Encontre a derivada de $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 7.2

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 7.2.2

Multiplique $y^{\frac{1}{2}}$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Multiplique $y^{\frac{1}{2}}$ por $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 7.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + 1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 7.2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 7.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1 + 2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 7.2.2.4

Some $1$ e $2$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 7.2.3

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}$ em relação a $y$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 7.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 7.2.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 7.2.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 7.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 7.2.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 7.2.8.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 7.2.9

Combine $\frac{3}{2}$ e $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 7.2.10

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 7.2.11

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 7.2.12

Fatore $3$ de $3 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 7.2.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.13.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 7.2.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 7.2.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Etapa 7.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 7.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y^{\frac{1}{2}}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 7.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 7.3.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 7.3.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 7.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 7.3.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 7.3.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 7.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 7.3.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 7.3.10

Mova $y^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8

Para encontrar o comprimento do arco de uma função, use a fórmula $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (y))}^{2}} d y$ .

$\int_{1}^{9} \sqrt{1 + {(\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}})}^{2}} d y$

Etapa 9