Cálculo Exemplos

$y = e^{\sqrt{x}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = e^{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (e^{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 4.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 4.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 4.9

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 4.10

Combine $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 4.11

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} x'$

Etapa 4.12

Combine $\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $x'$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Resolva $x'$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 1$

Etapa 6.2

Multiplique os dois lados por $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.1.1

Simplifique $\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

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Etapa 6.3.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x'}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.3.1.1.3

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.3.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x'}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.3.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$e^{x^{\frac{1}{2}}} x' = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.3.1.1.4

Reordene os fatores em $e^{x^{\frac{1}{2}}} x'$ .

$x' e^{x^{\frac{1}{2}}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.1

Multiplique $2 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x' e^{x^{\frac{1}{2}}} = 2 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.4

Divida cada termo em $x' e^{x^{\frac{1}{2}}} = 2 x^{\frac{1}{2}}$ por $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ e simplifique.

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Etapa 6.4.1

Divida cada termo em $x' e^{x^{\frac{1}{2}}} = 2 x^{\frac{1}{2}}$ por $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x' e^{x^{\frac{1}{2}}}}{e^{x^{\frac{1}{2}}}} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{e^{x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' e^{x^{\frac{1}{2}}}}{e^{x^{\frac{1}{2}}}} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{e^{x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 6.4.2.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{e^{x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 7

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{e^{x^{\frac{1}{2}}}}$