Cálculo Exemplos

$- \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = - 1$ e $g (y) = \frac{2 x + y}{x + 2 y}$ .

$- \frac{d}{d y} [\frac{2 x + y}{x + 2 y}] + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = 2 x + y$ e $g (y) = x + 2 y$ .

$- \frac{(x + 2 y) \frac{d}{d y} [2 x + y] - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{(x + 2 y) (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 3.2

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$- \frac{(x + 2 y) (0 + \frac{d}{d y} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{(x + 2 y) \frac{d}{d y} [y] - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{(x + 2 y) \cdot 1 - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 3.5

Multiplique $x + 2 y$ por $1$ .

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2 y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 3.7

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) (0 + \frac{d}{d y} [2 y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 3.8

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) \frac{d}{d y} [2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 3.9

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) (2 \frac{d}{d y} [y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 3.10

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y) \frac{d}{d y} [y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y) \cdot 1}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 3.12

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 3.13

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \cdot 0$

Etapa 3.14

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.14.1

Multiplique $\frac{2 x + y}{x + 2 y}$ por $0$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}} + 0$

Etapa 3.14.2

Some $- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}}$ e $0$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x) - 2 y}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1

Combine os termos opostos em $x + 2 y - 2 (2 x) - 2 y$ .

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Etapa 4.2.1.1

Subtraia $2 y$ de $2 y$ .

$- \frac{x - 2 (2 x) + 0}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2

Some $x - 2 (2 x)$ e $0$ .

$- \frac{x - 2 (2 x)}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- \frac{x - 4 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Etapa 4.2.3

Subtraia $4 x$ de $x$ .

$- \frac{- 3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Etapa 4.3.3

Multiplique $\frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$