Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + x + 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - x + 1$ e $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1] - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7

Some $2 x - 1$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.11

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.12

Some $2 x + 1$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Expanda $(x^{2} + x + 1) (2 x - 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.2.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.2.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 1 \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.4

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.2.6.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 (x \cdot x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.7

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} - 1 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.8

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} - x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.9

Multiplique $2 x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} - x + 2 x + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} - x + 2 x - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3

Some $- x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} - x + 2 x - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.4

Some $- x$ e $2 x$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.5.1

Multiplique $- - x$ .

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Etapa 3.2.1.5.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 + (- x^{2} + 1 x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.5.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 + (- x^{2} + x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.5.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 + (- x^{2} + x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.6

Expanda $(- x^{2} + x - 1) (2 x + 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.7.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.7.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.7.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.7.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.7.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.7.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.7.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.7.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.7.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.7.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.7.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.7.6.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + 2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.7.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.7.7

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + x - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.7.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + x - 2 x - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.7.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + x - 2 x - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.8

Some $- x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} + x^{2} + x - 2 x - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.9

Subtraia $2 x$ de $x$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} + x^{2} - x - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} + x^{2} - x - 1$ .

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Etapa 3.2.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + x - 1 + 0 + x^{2} - x - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Some $x^{2} + x - 1$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + x - 1 + x^{2} - x - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.2.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 + x^{2} + 0 - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.2.4

Some $x^{2} - 1 + x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - 1 + x^{2} - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 1 - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} - 2$ .

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Etapa 3.3.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 2}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Fatore $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$