Cálculo Exemplos

$y = \ln^{2} (x)$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$y = \ln^{2} (x)$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln^{2} (x))$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x)$ .

$2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 4.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$2 \ln (x) \frac{1}{x}$

Etapa 4.3

Combine frações.

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Etapa 4.3.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $2$ .

$\frac{2}{x} \ln (x)$

Etapa 4.3.2

Combine $\frac{2}{x}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{2 \ln (x)}{x}$

Etapa 4.4

Simplifique $2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (x^{2})}{x}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$