Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (x)}{x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.5.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.5.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.5.3

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.5

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0} \frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.7

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.8

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.9

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.10

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.12

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.13

Simplifique.

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Etapa 1.3.13.1

Reordene $- \sin^{2} (x)$ e $\cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.13.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \cos (x)$ e $b = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.13.3

Expanda $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.13.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.13.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.13.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.13.4

Combine os termos opostos em $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Etapa 1.3.13.4.1

Reorganize os fatores nos termos $\cos (x) (- \sin (x))$ e $\sin (x) \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.13.4.2

Some $- \cos (x) \sin (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.13.4.3

Some $\cos (x) \cos (x)$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.13.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.13.5.1

Multiplique $\cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 1.3.13.5.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.13.5.1.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.13.5.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0} \frac{{\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.13.5.1.4

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.13.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.13.5.3

Multiplique $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 1.3.13.5.3.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.13.5.3.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.13.5.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.13.5.3.4

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.13.6

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{1}$

Etapa 1.4

Divida $\cos (2 x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (2 x)$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\cos (lim_{x \to 0} 2 x)$

Etapa 2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\cos (2 lim_{x \to 0} x)$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\cos (2 \cdot 0)$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\cos (0)$

Etapa 4.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$1$