Cálculo Exemplos

$(5 x^{2} + 3) (2 x - 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 5 x^{2} + 3$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

$(5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(5 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Etapa 1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{2} + 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(5 x^{2} + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Etapa 1.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$(5 x^{2} + 3) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Etapa 1.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(5 x^{2} + 3) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.6.1

Some $2$ e $0$ .

$(5 x^{2} + 3) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Etapa 1.2.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $5 x^{2} + 3$ .

$2 \cdot (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Etapa 1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 1.2.8

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 1.2.10

Multiplique $2$ por $5$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (10 x + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 1.2.11

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (10 x + 0)$

Etapa 1.2.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.12.1

Some $10 x$ e $0$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (10 x)$

Etapa 1.2.12.2

Mova $10$ para a esquerda de $2 x - 1$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + 10 \cdot (2 x - 1) x$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (5 x^{2}) + 2 \cdot 3 + 10 (2 x - 1) x$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (5 x^{2}) + 2 \cdot 3 + (10 (2 x) + 10 \cdot - 1) x$

Etapa 1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (5 x^{2}) + 2 \cdot 3 + 10 (2 x) x + 10 \cdot - 1 x$

Etapa 1.3.4

Combine os termos.

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Etapa 1.3.4.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$10 x^{2} + 2 \cdot 3 + 10 (2 x) x + 10 \cdot - 1 x$

Etapa 1.3.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$10 x^{2} + 6 + 10 (2 x) x + 10 \cdot - 1 x$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $2$ por $10$ .

$10 x^{2} + 6 + 20 x \cdot x + 10 \cdot - 1 x$

Etapa 1.3.4.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$10 x^{2} + 6 + 20 (x^{1} x) + 10 \cdot - 1 x$

Etapa 1.3.4.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$10 x^{2} + 6 + 20 (x^{1} x^{1}) + 10 \cdot - 1 x$

Etapa 1.3.4.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 x^{2} + 6 + 20 x^{1 + 1} + 10 \cdot - 1 x$

Etapa 1.3.4.7

Some $1$ e $1$ .

$10 x^{2} + 6 + 20 x^{2} + 10 \cdot - 1 x$

Etapa 1.3.4.8

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$10 x^{2} + 6 + 20 x^{2} - 10 x$

Etapa 1.3.4.9

Some $10 x^{2}$ e $20 x^{2}$ .

$30 x^{2} + 6 - 10 x$

Etapa 1.3.5

Reordene os termos.

$f' (x) = 30 x^{2} - 10 x + 6$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $30 x^{2} - 10 x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $30$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $30 x^{2}$ em relação a $x$ é $30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$30 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $30$ .

$60 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 x$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$60 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$60 x - 10 + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$60 x - 10 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $60 x - 10$ e $0$ .

$f'' (x) = 60 x - 10$